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Demostrar suma de números pares por p. de inducción completa
12-02-2013, 11:45 AM
Post: #1
Demostrar que la siguiente igualdad se cumple para todos los números naturales:

$$ 0 + 2 + 4 + ... + 2·n = n·(n + 1), ∀n∈ℕ $$
12-02-2013, 11:51 AM
Post: #2
Base inductiva:
Verificamos que se cumpla para el primer número natural.
\( n = 0 \)

$$ 2·0 = 0⋅(0+1) ⇒ 0 = 0 $$
Se verifica la igualdad.

Hipótesis:
Planteo la igualdad para un número cualquiera.
\( n = k \)

$$ 0 + 2 + 4 + ... + 2·k = k·(k + 1) = k^2 + k $$

Tesis:
Planteo la igualdad para el siguiente de un número cualquiera.
\( n = (k + 1) \)

$$ 0 + 2 + 4 + ... + 2·k + 2·(k + 1) = (k + 1)·[(k + 1) + 1] = k^2 + 3·k +2 $$

Demostración:
Parto de la hipótesis a lo cual le sumo el consecutivo, todo esto me tendría que dar lo mismo que si sustituyo el siguiente de un número cualquiera en la fórmula que quiero demostrar.
$$ (k^2 + k)+2·(k + 1) = k^2 + 3·k +2 $$
$$ k^2 + k+2·k + 2 = k^2 + 3·k +2 $$
$$ k^2 + 3·k +2 = k^2 + 3·k +2 $$

Se verifica la igualdad, por lo que queda demostrado.

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