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| Foro Departamento de Matemática Problemas resueltos Demostrar suma de números pares por p. de inducción completa |
| Demostrar suma de números pares por p. de inducción completa |
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12-02-2013, 11:45 AM
Post: #1
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Demostrar que la siguiente igualdad se cumple para todos los números naturales:
$$ 0 + 2 + 4 + ... + 2·n = n·(n + 1), ∀n∈ℕ $$ |
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12-02-2013, 11:51 AM
Post: #2
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Base inductiva:
Verificamos que se cumpla para el primer número natural. \( n = 0 \) $$ 2·0 = 0⋅(0+1) ⇒ 0 = 0 $$ Se verifica la igualdad. Hipótesis: Planteo la igualdad para un número cualquiera. \( n = k \) $$ 0 + 2 + 4 + ... + 2·k = k·(k + 1) = k^2 + k $$ Tesis: Planteo la igualdad para el siguiente de un número cualquiera. \( n = (k + 1) \) $$ 0 + 2 + 4 + ... + 2·k + 2·(k + 1) = (k + 1)·[(k + 1) + 1] = k^2 + 3·k +2 $$ Demostración: Parto de la hipótesis a lo cual le sumo el consecutivo, todo esto me tendría que dar lo mismo que si sustituyo el siguiente de un número cualquiera en la fórmula que quiero demostrar. $$ (k^2 + k)+2·(k + 1) = k^2 + 3·k +2 $$ $$ k^2 + k+2·k + 2 = k^2 + 3·k +2 $$ $$ k^2 + 3·k +2 = k^2 + 3·k +2 $$ Se verifica la igualdad, por lo que queda demostrado. ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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