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| Foro Departamento de Matemática Problemas resueltos Demostrar caso particular de propiedad de logaritmos |
| Demostrar caso particular de propiedad de logaritmos |
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25-11-2012, 9:02 PM (Este mensaje fue modificado por última vez por: marcos364 - Domingo, 25-11-2012, 9:03 PM.)
Post: #1
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Demostrar la siguiente propiedad de los logaritmos:
$$ \log_{b} a = \log_{b^2} a^2, (a,b)∈ℝ^{+}, b≠1 $$ |
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08-02-2013, 4:28 AM
Post: #2
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Comencemos con la demostración; les daremos valores variables a ambos miembros del signo de igualdad:
$$ \log_{b} a = x $$ $$ \log_{b^2} a^2 = y $$ Aplicamos la definición en ambos casos: $$ \log_{b} a = x ⇔ b^x = a $$ $$ \log_{b^2} a^2 = y ⇔ ( b^2)^y = a^2 ⇒ b^{2·y} = a^2 $$ $$ ⇒ b^{2·y} = (b^{x})^2 ⇒ b^{2·y} = (b^{2·x}) $$ Si dos números (pertenecientes a naturales y distintos de cero) elevados a una potencia cualquier (ambos a la misma) son iguales, es porque los exponentes son iguales. $$ b^{2·y} = (b^{2·x}) ⇔ 2·y = 2·x ⇒ y = x $$ Aplicamos la hipótesis: $$ y = x ⇔ \log_{b} a = \log_{b^2} a^2 ∎ $$ Quote Y de una manera análoga se puede demostrar que: $$ \log_{b} a = \log_{b^n} a^n, (a,b)∈ℝ^{+}, b≠1 $$ ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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