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Demostrar caso particular de propiedad de logaritmos

Demostrar la siguiente propiedad de los logaritmos:

$$ \log_{b} a = \log_{b^2} a^2, (a,b)∈ℝ^{+}, b≠1 $$

Comencemos con la demostración; les daremos valores variables a ambos miembros del signo de igualdad:
$$ \log_{b} a = x $$
$$ \log_{b^2} a^2 = y $$

Aplicamos la definición en ambos casos:
$$ \log_{b} a = x ⇔ b^x = a $$
$$ \log_{b^2} a^2 = y ⇔ ( b^2)^y = a^2 ⇒ b^{2·y} = a^2 $$

$$ ⇒ b^{2·y} = (b^{x})^2 ⇒ b^{2·y} = (b^{2·x}) $$

Si dos números (pertenecientes a naturales y distintos de cero) elevados a una potencia cualquier (ambos a la misma) son iguales, es porque los exponentes son iguales.

$$ b^{2·y} = (b^{2·x}) ⇔ 2·y = 2·x ⇒ y = x $$

Aplicamos la hipótesis:
$$ y = x ⇔ \log_{b} a = \log_{b^2} a^2 ∎ $$

Quote

Y de una manera análoga se puede demostrar que:
$$ \log_{b} a = \log_{b^n} a^n, (a,b)∈ℝ^{+}, b≠1 $$

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marcos364

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