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Ejercicio de inducción completa con sumatoria
25-11-2012, 8:50 PM
Post: #1
$$ \sum_{i=1}^{i=n} \left( a·i^2-i \right) = n^2·(n+1) $$

a. Hallar \(a\) sabiendo que la igualdad se cumple para \(n=1\).
b. Para el valor de \(a\) hallado, demostrar la igualdad por inducción completa \(∀n∈ℕ; n≥1\).
14-02-2013, 2:06 PM
Post: #2
Las demostraciones por el método de inducción completa de fórmulas que están expresadas por sumatorias son realmente sencillas, no tiene mucho misterio, pero es muy fácil perderse entre tanta cuenta, estar atento.

Antes que nada, debemos hallar el valor de la incógnita \( a \), para lo cual sabemos que se cumple para \( n = 1 \), por lo que lo sustituimos y hacemos cuentas con lo que nos queda.

$$ \sum_{i=1}^{i=n} \left( a·i^2-i \right) = n^2·(n+1) ⇒ \sum_{i=1}^{i=1} \left( a·i^2-i \right) = 1^2·(1+1) ⇒ \sum_{i=1}^{i=1} \left( a - 1 \right) = 2 ⇒ a - 1 = 2 ⇒ a = 3 $$

Ahora reescribimos la igualdad que debemos demostrar:

$$ \sum_{i=1}^{i=n} \left( 3·i^2-i \right) = n^2·(n+1) $$

Como ya sabemos que se cumplía para \( n = 1 \) podemos saltarnos la base inductiva, por lo que continuaremos con la hipótesis inductiva.

Hipótesis inductiva:
Planteamos la igualdad para un número cualquiera, como es el caso de \( h \), por lo que hacemos lo siguiente: \( n = h \)

$$ \sum_{i=1}^{i=h} \left( 3·i^2-i \right) = h^2·(h+1) $$
$$ \sum_{i=1}^{i=h} \left( 3·i^2-i \right) = h^3+h^2 $$

Tesis inductiva:
Plantemos la igualdad para el consecutivo de un número cualquiera, como es el caso de \( (h+1) \), por lo que hacemos lo siguiente: \( n = (h+1) \).

$$ \sum_{i=1}^{i=(h+1)} \left( 3·i^2-i \right) = (h+1)^2·[(h+1)+1] $$
$$ \sum_{i=1}^{i=(h+1)} \left( 3·i^2-i \right) = (h+1)^2·(h+2) $$
$$ \sum_{i=1}^{i=(h+1)} \left( 3·i^2-i \right) = (h^2+2·h+1)·(h+2) $$
$$ \sum_{i=1}^{i=(h+1)} \left( 3·i^2-i \right) = h^3+4·h^2+5·h+2 $$

Demostración:
Tenemos que hacer cuentas, de modo que utilicemos la hipótesis pero que a la vez lleguemos a la tesis; haré lo siguiente: voy a descomponer la sumatoria de la tesis en dos sumatorias parciales, de la siguiente forma:

$$ \sum_{i=1}^{i=(h+1)} \left( 3·i^2-i \right) = \sum_{i=1}^{i=h} \left( 3·i^2-i \right) + \sum_{i=(h+1)}^{i=(h+1)} \left( 3·i^2-i \right) $$

Ahora lo tenemos mucho más potable. Si prestamos atención al anterior masacote que escribí, encontraremos un parecido muy grande entre la hipótesis y el primer término del segundo miembro que acabo de poner arriba, como son iguales los puedo sustituir.

$$ \sum_{i=1}^{i=(h+1)} \left( 3·i^2-i \right) = h^3+h^2 + \sum_{i=(h+1)}^{i=(h+1)} \left( 3·i^2-i \right) $$

Ahora lo que vamos a hacer es desarrollar la única sumatoria que nos quedó del miembro derecho, recordar que como empieza y finaliza en el mismo número (\( h + 1 ) \) tiene un único término.

$$ \sum_{i=1}^{i=(h+1)} \left( 3·i^2-i \right) = h^3+h^2 + \left( 3·(h+1)^2-(h+1) \right) $$

Desarrollamos todo y hacemos las cuentas:

$$ \sum_{i=1}^{i=(h+1)} \left( 3·i^2-i \right) = h^3+h^2 + \left( 3·(h^2+2·h+1)-(h+1) \right) $$
$$ \sum_{i=1}^{i=(h+1)} \left( 3·i^2-i \right) = h^3+h^2 + (3·h^2+6·h+3)-(h+1) $$
$$ \sum_{i=1}^{i=(h+1)} \left( 3·i^2-i \right) = h^3+4·h^2+5·h+2 $$

Si verificamos, llegamos a lo mismo que en la tesis, por lo que podemos decir que demostramos la tesis, marco en rojo los que son iguales, debido a esto podemos afirmar que está demostrado:


Archivo(s) adjunto(s): 5831700.png(64Kb)

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