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Ecuación racional
19-11-2012, 7:52 PM
Post: #1
Resolver en ℝ la siguiente ecuación racional:

$$\frac{2x+3}{2x+5} + \frac{2x}{3x+1}=1$$
19-11-2012, 8:03 PM
Post: #2
Hacemos común denominador, multiplicando los denominadores entre sí, las sumaremos de esta manera.

$$(2x+5)·(3x+1)=6x^2+17x+5$$

De esta manera sabemos que el denominador común será el anterior. Y seguimos multiplicando, de la forma en que dejé en el enlace de arriba, para poder sumar fracciones de distinto denominador.

$$(2x-3)·(3x+1)=6x^2-7x-3$$

$$(2x)·(2x+5)=4x^2+10x$$

Ahora formamos la fracción:

$$\frac {6x^2-7x-3}{6x^2+17+5}+ \frac {4x^2+10}{6x^2+17x+5}=1$$

Ahora, podemos enviar el común denominador a multiplicar por el uno, que da el mismo denominador.

$$6x^2-7x-3+4x^2+10x=6x^2+17x+5$$

Pasamos todo para el mismo lado:

$$4x^2+3x-3-17x-5=0$$
$$4x^2-14x-8=0$$

Llegamos a una ecuación de segundo grado, sus raíces son la solución del problema. Obviaré este paso, ya que si se trabaja con este tipo de ecuaciones, la resolución de una ecuación de segundo grado debería de conocerse el método de solución de esta.

$$ S = \left\{ 4, -\frac {1}{2}\right\}$$

Ahora debemos considerar las raíces de los denominadores, por condiciones de existencia no pueden ser cero, por lo cual debemos igualarlos a cero, para conocer sus valores y en caso de que sean raíces se deberán descartar.

Se pueden igualar a cero cada denominador a cero, pero como yo las multipliqué, las mismas raíces también están en el producto, resolveré el producto:

$$6x^2+17x+5=0$$
$$ S = \left\{ -\frac {1}{3}, -\frac {5}{2}\right\}$$

Como ninguno de los valores es raíz no debo descartar ninguna raíz. Por lo que el conjunto solución es:

$$ S = \left\{ 4, -\frac {1}{2}\right\}$$

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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