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Suma de los primeros n números naturales
09-01-2013, 8:55 AM
Post: #1
Hoy les voy a comentar cómo calcular el resultado de la suma de los primeros \( n \) números naturales.

Antes que nada, les quiero mostrar el razonamiento aplicado a números, así, después llegar a una fórmula.

Suma de los primeros 100 números naturales:
A Carl Gauss, cuando tenía 10 años, la maestra les pidió a él y sus compañeros que sumaran los números del 1 al 100, pensando que así podría tener un buen rato ocupados a los niños, para inconveniente de ella, Gauss lo calculó en un par de minutos, ¡imaginate la cara de la maestra!

El razonamiento que utilizó fue algo así:

Escribió algo así:
$$ 1+2+3+...+98+99+100 $$
$$ 100+99+98+...+3+2+1 $$

Luego, los ordenó de una forma muy peculiar, los junto de la siguiente manera: al primero con el último, al segundo con el penúltimo, al tercero con el antepenúltimo y así sucesivamente, quedó algo así:

$$ (100+1)+(99+2)+(98+3)... $$

Si te fijas bien, verás que la suma de los números que están dentro del paréntesis siempre suman lo mismo, suman 101.

La cosa es: ¿cuántas términos (paréntesis) hay?

Si se nos pidió sumar 100, y luego a esos 100 números los juntamos de a dos, tendremos que \( \frac {100}{2} \), o sea, la mitad: 50.

Quiere decir que si multiplicamos a 101 por 50 tendremos la suma de los primeros 100 números naturales.
(Si no entendiste el razonamiento: leelo de nuevo)

Deducción de la fórmula de la suma de los primeros \( n \) números naturales:

Razonaremos análogamente:

Escribimos los números naturales desde el 1 hasta el \( n \):

$$ 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n $$
$$ n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1 $$

Los ordenamos:

$$ (n+1) + [(n-1)+1] + ... $$

La suma de cada término da \( (n+1) \). Como vimos en el paso anterior, hay que multiplicarlo por la mitad del número hasta el que queremos sumar, por lo cual, debemos multiplicar por \( \frac {n}{2} \).

Si juntamos todo, nos queda que:

$$ \frac {n·(n+1)}{2} $$

Por lo tanto, afirmaremos lo siguiente:

$$ 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac {n·(n+1)}{2} $$

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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