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| Foro Departamento de Matemática Off-topic Suma de los primeros n números naturales |
| Suma de los primeros n números naturales |
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09-01-2013, 8:55 AM
Post: #1
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Hoy les voy a comentar cómo calcular el resultado de la suma de los primeros \( n \) números naturales.
Antes que nada, les quiero mostrar el razonamiento aplicado a números, así, después llegar a una fórmula. Suma de los primeros 100 números naturales: A Carl Gauss, cuando tenía 10 años, la maestra les pidió a él y sus compañeros que sumaran los números del 1 al 100, pensando que así podría tener un buen rato ocupados a los niños, para inconveniente de ella, Gauss lo calculó en un par de minutos, ¡imaginate la cara de la maestra! El razonamiento que utilizó fue algo así: Escribió algo así: $$ 1+2+3+...+98+99+100 $$ $$ 100+99+98+...+3+2+1 $$ Luego, los ordenó de una forma muy peculiar, los junto de la siguiente manera: al primero con el último, al segundo con el penúltimo, al tercero con el antepenúltimo y así sucesivamente, quedó algo así: $$ (100+1)+(99+2)+(98+3)... $$ Si te fijas bien, verás que la suma de los números que están dentro del paréntesis siempre suman lo mismo, suman 101. La cosa es: ¿cuántas términos (paréntesis) hay? Si se nos pidió sumar 100, y luego a esos 100 números los juntamos de a dos, tendremos que \( \frac {100}{2} \), o sea, la mitad: 50. Quiere decir que si multiplicamos a 101 por 50 tendremos la suma de los primeros 100 números naturales. (Si no entendiste el razonamiento: leelo de nuevo) Deducción de la fórmula de la suma de los primeros \( n \) números naturales: Razonaremos análogamente: Escribimos los números naturales desde el 1 hasta el \( n \): $$ 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n $$ $$ n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1 $$ Los ordenamos: $$ (n+1) + [(n-1)+1] + ... $$ La suma de cada término da \( (n+1) \). Como vimos en el paso anterior, hay que multiplicarlo por la mitad del número hasta el que queremos sumar, por lo cual, debemos multiplicar por \( \frac {n}{2} \). Si juntamos todo, nos queda que: $$ \frac {n·(n+1)}{2} $$ Por lo tanto, afirmaremos lo siguiente: $$ 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac {n·(n+1)}{2} $$ ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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