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Sumatoria
26-10-2012, 9:26 PM
Post: #1
Es una forma de expresar un suma de una cantidad de términos determinada, puede ser tanto finita como infinita.

Por convención se utiliza la letra griega sigma mayúscula (Σ).

$$ \sum^{i=n}_{i=k} (i), k≤n $$

Notación:
· A la derecha de esta letra se escribe la forma en que se quiere sumar.
· Debajo de esta letra se introduce el número desde el cual comenzará la suma.
· Arriba de esta letra se introduce el número en el cual terminará la suma.

Ejemplo:
$$ \sum^{i=5}_{i=0} (i) = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 $$

$$ \sum^{i=3}_{i=1} \left( \frac {1}{i^2} \right) = \frac {1}{1^2} + \frac {1}{2^2} + \frac {1}{3^2} = \frac {1}{1} + \frac {1}{4} + \frac {1}{9} = \frac {49}{36} $$

Fórmulas útiles para sumar:
· Suma de los primeros \( n \) términos consecutivos a partir del cero, sólo se cumple para ℕ:
$$ \sum^{i=n}_{i=0} (i) = 0 + 1 + 2 + ... + n = \frac {n·(n+1)}{2} $$

· Suma de los números desde el \( k \) hasta el \( n \), sólo se cumple para ℕ:
$$ \sum^{i=n}_{i=k} (i) =  \frac {n·(n+1)-k·(k-1)}{2} $$

· Suma de los cuadrados de los primeros \( n \) términos consecutivos a partir del cero, sólo se cumple para ℕ:
$$ \sum^{i=n}_{i=0} (i^2) = 0^2 + 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac {n·(n+1)·(2·n+1)}{6} $$

· Suma de los cubos de los primeros \( n \) términos consecutivos a partir del cero, sólo se cumple para ℕ:
$$ \sum^{i=n}_{i=0} (i^3) = 0^3 + 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \left( \frac {n·(n+1)}{2} \right)^2 $$

· Suma de las potencias a la cuarta de los primeros \( n \) términos consecutivos a partir del cero, sólo se cumple para ℕ:
$$ \sum^n_{i = 1} (i^4) =
   \frac{n (n + 1) (2n + 1) (3n^2 + 3n - 1)}{30} $$

Suma de sumatorias:
La suma de dos sumatorias es otra sumatoria, la cual estará formada por un índice inferior (valor en el que inicia), que será el menor valor de las anteriores sumatorias; y un índice superior (valor en el que finaliza), que será el mayor valor de las anteriores sumatorias. Para que dos sumatorias se puedan sumar es necesario que el índice superior de una de las sumatorias sea consecutivo del índice inferior de la otra sumatoria. También es necesario que tengan la misma expresión (la que se encuentra a la derecha de la letra sigma).



Propiedades:
Sean las funciones \( f:A→ℝ \), y \( g:A→ℝ \), y dos naturales \( n \) y \( k \), con \( n ≥ k \), tal que \( A = {i:i∈ℕ ∧ k ≤ i ≤ n} \), y \( \alpha ∈ ℝ \).

· Propiedad aditiva:
$$ \displaystyle\sum^{i=n}_{i=k}f(i) + \displaystyle\sum^{i=n}_{i=k}g(i) = \displaystyle\sum^{i=n}_{i=k}[f(i)+g(i)] $$



· Propiedad homogénea:
$$ \alpha · \displaystyle\sum^{i=n}_{i=k}f(i) = \displaystyle\sum^{i=n}_{i=k}\alpha·f(i) $$

· Propiedad telescópica:
$$ \displaystyle\sum^{i=n}_{i=0}[f(i+1)-f(i)] = f(n+1)-f(0) $$

Suma de un número fijo una cantidad determinada de veces:
$$ \sum^{i=n}_{i=k} (a) = p·a $$
Pudiéndose calcular \( p \) como: \( p = n-k+1 \).

Archivo(s) adjunto(s): 0493501.png(2Kb)

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