Método de Gauss

Se considera la igualdad: \( S = 1 + 2 + 3 + ... + n \)

Se realiza la siguiente operación (adición):
\( S = 1 + 2 + 3 + ... + n \)
\( S = n + ... + 3 + 2 + 1 \)
-------------------------------
\( 2·S = [(n)+1] + [(n-1)+2] + [(n-2)+3] + ... \)

\( 2·S = n·(n+1) \)
\( S = \frac {n·(n+1)}{2} \)

Demostración:
Se demostrará por el principio de inducción completa.

$$ 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac {n·(n+1)}{2}, ∀n∈ℕ $$

Base inductiva:
\( n = 1 \)
$$ 1 = \frac {1·(1+1)}{2} ⇒ 1 = 1 $$

Hipótesis:
$$ 1 + 2 + 3 + ... + h = \frac {h·(h+1)}{2} $$

Tesis:
$$ 1 + 2 + 3 + ... + h + (h+1) = \frac {(h+1)·(h+2)}{2} $$

Demostración:
Se demostrará que:
$$ 1 + 2 + 3 + ... + h + (h+1) = \frac {(h+1)·(h+2)}{2} $$
$$ \frac {h·(h+1)}{2} + (h+1) = \frac {(h+1)·(h+2)}{2} $$
$$ \frac {h·(h+1)+2·(h+1)}{2} = \frac {(h+1)·(h+2)}{2} $$
$$ \frac {h^2 + 3·h + 2}{2} = \frac {h^2 + 3·h + 2}{2} ∎ $$

Demostración:
Se demostrará por el principio de inducción completa.

$$ \sum_{i=0}^{n} (i) = \frac {n·(n+1)}{2}, ∀n∈ℕ $$

Base inductiva:
\( n = 0 \)
$$ \sum_{i=0}^{0} (i) = \frac {0·(0+1)}{2} ⇒ 0 = 0 $$

Hipótesis:
$$ \sum_{i=0}^{h} (i) = \frac {h·(h+1)}{2} $$

Tesis:
$$ \sum_{i=0}^{h+1} (i) = \frac {(h+1)·(h+2)}{2} $$

Demostración:
Se demostrará que:
$$ \sum_{i=0}^{h} (i) + (h+1) = \frac {(h+1)·(h+2)}{2} $$
$$ \frac {h·(h+1)}{2} + (h+1) = \frac {(h+1)·(h+2)}{2} $$
$$ \frac {h·(h+1)+2·(h+1)}{2} = \frac {(h+1)·(h+2)}{2} $$
$$ \frac {h^2 + 3·h + 2}{2} = \frac {h^2 + 3·h + 2}{2} ∎ $$

Deducción:
Se considera la suma: \( S = 2 + 4 + 6 + ... + 2·n \). Como todos los términos son múltiplos de 2, se saca éste de factor común.
$$ S = 2·(1 + 2 + 3 + ... + n) $$

Se considera y sustituye la igualdad siguiente:
$$ 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac {n·(n+1)}{2} $$

$$ S = 2·(\frac {n·(n+1)}{2}) = n·(n+1) ∎ $$

Demostración:
Se demostrará por el principio de inducción completa.

Demostración:
Se demostrará por el principio de inducción completa.

Deducción:
1=1=1²
1+3=4=2²
1+3+5=9=3²
1+3+5+7=16=4²
1+3+5+7+9=25=5²

Se deduce que:
$$ 1 + 3 + 5 + ... + (2·n-1) = n^2 $$

Demostración:
Se demostrará por el principio de inducción completa.

Demostración:
Se demostrará por el principio de inducción completa.