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Ecuación polinómica
21-11-2013, 4:07 AM
Post: #1
Ecuación polinómica

Toda ecuación polinómica es de la forma:
$$ \sum_{i=0}^{i=n} (a_{i}·x^{i}) = 0, a_{i}∈ℝ, ∀i∈ℕ $$

Observaciones:
· Todo ecuación polinómica de grado impar con coeficientes reales, presenta al menos una raíz real.

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

· No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado.
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· Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación.
· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
21-11-2013, 4:14 AM
Post: #2
Ecuación polinómica de primer grado

Toda ecuación polinómica de primer grado es de la forma:
$$ a·x + b = 0, a≠0, (a,b)∈ℝ $$

Absolutamente toda ecuación de la forma anterior tiene una única raíz real.

La raíz de este tipo de ecuaciones se puede calcular a través de la siguiente fórmula:
$$ x = - \frac {b}{a} $$



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21-11-2013, 4:17 AM
Post: #3
Ecuación polinómica de segundo grado

Toda ecuación polinómica de segundo grado es de la forma:
$$ a·x^2 + b·x + c = 0, a≠0, (a,b,c)∈ℝ $$

El cálculo de las raíces de la anterior ecuación, está dado por la fórmula (fórmula de Bháskara):
$$ x = \frac {-b ± \sqrt {b^2 - 4·a·c}}{2·a} $$


Naturaleza de las raíces:
Discriminante: \( \Delta = b^2 - 4·a·c \)


En el caso del discriminante negativo, la ecuación tendrá dos raíces complejas de parte imaginaria no nula y opuestas (raíces complejas conjugadas).

Propiedad de raíces (para hallar raíces a ojo):
Todas las raíces de una ecuación polinómica de segundo grado cumplen que:
$$ x^2 - S·x + P = 0 $$

\( S \) significa suma de raíces. \( S = \alpha + \beta \)
\( P \) significa producto de raíces. \( P = \alpha·\beta \)

Cita
Truco: si la ecuación cuadrática tratada no presenta coeficiente principal igual a la unidad, se deberán dividir todos los términos entre éste. Luego, se podrá aplicar la anterior propiedad para el cálculo de raíces.
Ejemplo: si se tiene una ecuación de la forma: \( a·x^2 + b·x + c = 0 \) se deberá realizar lo siguiente: \( x^2 + \frac {b}{a}·x + \frac {c}{a} = 0 \)



Archivo(s) adjunto(s): 1342703.png(6Kb)

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21-11-2013, 4:45 AM
Post: #4
Raíces evidentes:

Primera raíz evidente:
"Una función polinómica tiene raíz evidente \( x = 0 \), si y sólo si su término independiente es cero."



Segunda raíz evidente:
"Una función polinómica tiene raíz evidente \( x = 1 \), si y sólo si la suma de sus coeficientes es igual a cero."



Tercera raíz evidente:
"Una función polinómica tiene raíz evidente \( x = -1 \), si y sólo si la suma de sus coeficientes de los términos con exponente par de la variable, es igual a la suma de los coeficientes de los términso de exponente impar."


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21-11-2013, 4:48 AM
Post: #5
Ecuaciones ciclotónicas

Las ecuaciones ciclotónicas son ecuaciones polinómicas de la forma:
$$ a·x^{2·n} + b·x^{n} + c = 0, a≠0, (a,b,c)∈ℝ, n∈ℕ^{*} $$

Resolución:
Por propiedades de potencia se puede llegar a que:
$$ a·x^{2·n} + b·x^{n} + c = 0 ⇒ (a·x^{n})^{2} + b·x^{n} + c = 0 $$
Luego de esto, se puede realizar un cambio de variable conveniente:
$$ z = x^{n} $$
Resultando la ecuación original en:
$$ a·z^{2} + b·z + c = 0 $$

Casos particulares:
· Ecuación bicuadrada: $$ a·x^{4} + b·x^{2} + c = 0, a≠0, (a,b,c)∈ℝ $$
· Ecuación bicúbica: $$ a·x^{6} + b·x^{3} + c = 0, a≠0, (a,b,c)∈ℝ $$

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21-11-2013, 5:08 AM
Post: #6
Ecuaciones simétricas

Las ecuaciones simétricas son ecuaciones polinómicas de la forma:
$$ a·x^{n} + b·x^{n-1} + c·x^{n-2} + ... + c·x^2 + b·x + a = 0, a≠0, (a,b,c)∈ℝ, n∈ℕ^{*} $$

Polinomios simétricos:
Un polinomio es simétrico si y sólo si los coeficientes de los términos “equidistantes” de los extremos, son iguales.

En todo polinomio simétrico se cumple que:
· No admiten la raíz 0.
· -1 es raíz, si el grado es impar.
· Si admite raíz \( \alpha \), también la raíz \( \frac {1}{\alpha} \).
· Si es de grado impar, al dividirlo por \( (x+1) \), obtenemos un polinomio simétrico.

Raíces de polinomios simétricos de 4to grado:

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