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Geometría analítica en el espacio: el plano
31-08-2013, 3:00 AM
Post: #1
Geometría analítica en el espacio: el plano

Como trabajamos en el espacio, nuestro lugar de trabajo será \( ℝ^3 \).

· Ecuación general del plano:
$$ a·x + b·y + c·z + d = 0 $$

· Ecuación segmentaria del plano:
$$ \frac {x}{a} + \frac {y}{b} + \frac {z}{c} = 1 $$

· Vector normal: es el formado por los coeficientes del plano.
Un plano de ecuación \( a·x + b·y + c·z + d = 0 \) tendrá un vector normal: \( (a,b,c) \).

Como vemos, la diferencia entre un plano y una recta, es que el primero tiene una variable más que el segundo. El plano presenta tres variables \(x,y,z\), cuyos valores reciben el nombre de abscisa, ordenada y cota, respectivamente.

La intersección de dos planos da lugar a una recta.

· Distancia entre dos puntos en el espacio:
La distancia entre el punto \( A(x_{A}, y_{A} \) y \( B(x_{B}, y_{B} \) está dada por la fórmula:
$$ d(A,B) = \sqrt {(x_{A}-x_{B})^2 + (y_{A}-y_{B})^2 + (z_{A}-z_{B})^2} $$

· Distancia de un punto a una recta en el espacio:
La distancia entre un punto \( P(x_{P},y_{P},z_{P}) \) y un plano \( (\alpha) a·x+b·y+c·z + d = 0 \) está dada por la fórmula:
$$ d(P,\alpha) = \frac {|a·x_{P}+b·y_{P}+c·z_{P} + d|}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}} $$

· Distancia entre planos paralelos:
La distancia de separación entre dos planos paralelos \( (\alpha) a_{1}·x+b_{1}·y+c_{1}·z + d_{1} = 0 \) y \( (\beta) a_{2}·x+b_{2}·y+c_{2}·z + d_{2} = 0 \) está dado por la fórmula:
$$ d(\alpha,\beta) = \frac {|d_{1}-d_{2}|}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}} $$

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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