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Sucesiones
10-05-2013, 2:20 AM
Post: #1
Definición:
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales o a partir de un número natural dado.

$$ f: ℕ → ℝ $$

Observaciones:
· Lo importante es no considerar un subconjunto de números naturales que esté acotado superiormente como dominio.
· El codominio no debe ser necesariamente un subconjunto de números naturales, puede ser uno de números reales.

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10-05-2013, 2:22 AM
Post: #2
Sucesiones definidas por recurrencia:
Llevan este nombre porque recurren al término anterior.

$$ p.r \begin{cases} a_{1} \\ a_{n} = 2·a_{n-1} + 1  \end{cases} $$

Ejemplo:
Sucesión de Fibonacci:
Es una progresión aritmética por recurrencia, donde el término siguiente se halla a partir de la suma de los dos anteriores.

$$ \mbox{Sucesión de Fibonacci } \begin{cases} a_{1} = 0 \\ a_{2} = 1 \\ a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}  \end{cases} $$

Primeros términos de la sucesión: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

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10-05-2013, 2:22 AM
Post: #3
Progresiones aritméticas:

Definición:
Es una sucesión definida por recurrencia en la que un término se encuentra a partir del anterior sumándole una constante, ésta constante se llama diferencia (denotada como \( d \)).

$$ p.a \begin{cases} a_{1} \\ a_{n} = a_{n-1} + d  \end{cases} $$




Ejemplo:
Sea la sucesión aritmética:
$$ p.a_{1} \begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{n} = a_{n-1} + 5  \end{cases} $$

Primeros términos de la sucesión: 2, 7, 12, 17, 22, ...

Suma de los primeros \( n \) términos de una progresión aritmética:
$$ S_{n} = \frac {n·(a_{1} + a_{n})}{2} $$



Archivo(s) adjunto(s): 0838598.png(9Kb)

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10-05-2013, 2:23 AM
Post: #4
Progresiones geométricas:

Definición:
Es una sucesión definida por recurrencia en la que un término se encuentra a partir del anterior multiplicándole una constante, ésta constante se llama razón (denotada como \( q \)).

$$ p.g \begin{cases} a_{1} \\ a_{n} = a_{1}·q^{n-1}  \end{cases} $$



Ejemplo:
Sea la sucesión geométrica:
$$ p.g_{1} \begin{cases} a_{1} = 3 \\ a_{n} = a_{1}·2^{n-1}  \end{cases} $$

Primeros términos de la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Suma de los primeros \( n \) términos de una progresión geométrica:
$$ S_{n} = \frac {a_{1}-a_{n}·q}{1-q} $$
$$ S_{n} = \frac {a_{1}·(1-q^n)}{1-q} $$

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica:
Sólo se cumple para progresiones geométricas cuya razón en valor absoluto es menor que la unidad \( ( |q|<1 ) \). En el caso que la progresión geométrica tenga una razón mayor que la unidad, la suma de la la progresión jamás será un número, sino que será infinito. En este último caso, no nos importará esta fórmula porque ya sabremos que el resultado de la suma es infinito.

$$ S_{∞} = \frac {a_{1}}{1-q} $$



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10-05-2013, 2:24 AM
Post: #5
Límite de una sucesión:
El límite de una sucesión es el o los valores a los que tiende la sucesión al tomar valores cada vez mayores.

$$ \lim_{n \to +∞} a_{n} $$

Clasificación:
· Convergente: cuando tiende a un número
· Divergente: cuando tiende a más infinito o a menos infinito.
· Oscilante: cuando tienden a más de un número.

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