Deducción del término general de una progresión aritmética:
\( a_{1} \)
\( a_{2} = a_{1} + d \)
\( a_{3} = a_{2} + d = a_{1} + 2·d \)
\( a_{4} = a_{1} + 3·d \)
\( ... \)
\( a_{17} = a_{1} + 16·d \)
\( ... \)
\( a_{n} = a_{1} + (n-1)·d \)

Demostración del término general de una progresión aritmética por inducción completa:
Hipótesis:
\( a_{1} \)
\( a_{n} = a_{n-1} + d \)

Tesis:
\( a_{n} = a_{1} + (n-1)·d \)

Base inductiva:
\( n = 1 \)
\( a_{1} = a_{1} + 0·d \)
\( a_{1} = a_{1} \)

Hipótesis inductiva:
\( n = h \)
\( a_{h} = a_{1} + (h-1)·d \)

Tesis inductiva:
\( n = h + 1 \)
\( a_{h+1} = a_{1} + h·d \)

Demostración:
\( a_{h+1} = a_{h} + d = a_{1} + (h-1)·d + d = a_{1} + (h-1+1)·d = a_{1} + h·d ∎ \)

Deducción de la fórmula para calcular la suma de los primeros \( n \) términos de una progresión aritmética:

Demostración de la fórmula para calcular la suma de los primeros \( n \) términos de una progresión aritmética por inducción completa:
Base inductiva:
\( n = 1 \)
$$ S_1=\dfrac{1\cdot (a_1+a_1)}{2}=\dfrac{2a_1}{2}=a_1 $$
Hipótesis inductiva:
\( n = h \)
$$ S_h=\dfrac{h\cdot (a_1+a_h)}{2} $$
Tesis inductiva:
$$ S_{h+1}=\dfrac{(h+1)\cdot (a_1+a_{h+1})}{2} $$
Demostración:
$$ S_{h+1}=\dfrac{(h+1)\cdot (a_1+a_{h+1})}{2} = \dfrac{h\cdot a_1 +a_1+h\cdot a_{h+1}+a_{h+1}}{2} $$
Sabemos que:
$$ a_{h+1}=a_h+d $$
$$ \dfrac{h\cdot a_1 +a_1+h\cdot (a_h+d)+a_{h+1}}{2}=\dfrac{h\cdot a_1 +a_1+h\cdot a_h+hd+a_{h+1}}{2}=\dfrac{h\cdot a_1 +h\cdot a_h}{2}+\dfrac{a_1+hd+a_{h+1}}{2}={\dfrac{h\cdot (a_1 + a_h)}{2}}+\dfrac{a_1+hd+a_{h+1}}{2} $$
Pero sabemos que:
$$ a_1+hd=a_1+hd-d+d={a_1+(h-1)\cdot d}_{a_h} + d=a_h+d=a_{h+1} $$
Sustituimos y resulta en:
$$ S_h+\dfrac{a_{h+1}+a_{h+1}}{2}=S_h+\dfrac{2 \cdot a_{h+1}}{2}=S_h+a_{h+1}=\boxed{S_{h+1}} ∎ $$

Deducción del término general:
\( a_{1} \)
\( a_{2} = a_{1}·q \)
\( a_{3} = a_{2}·q = (a_{1}·q)·q = a_{1}·q^{2} \)
\( a_{4} = a_{3}·q = (a_{1}·q^2)·q = a_{1}·q^{3} \)
\( ... \)

Generalizando llegamos a:
\( a_{n} = a_{1}·q^{n-1} \)

Demostración del término general por inducción completa:
Base inductiva:
\( n = 1 \)
$$ a_{n} = a_{1}·q^{n-1} ⇒ a_{1} = a_{1}·q^{1-1} ⇒ a_{1} = a_{1}·q^{0} ⇒ a_{1} = a_{1} $$

Hipótesis inductiva:
\( n = h \)
$$ a_{n} = a_{1}·q^{n-1} ⇒ a_{h} = a_{1}·q^{h-1} $$

Tesis inductiva:
\( n = (h+1) \)
$$ a_{n} = a_{1}·q^{n-1} ⇒ a_{(h+1)} = a_{1}·q^{(h+1)-1} ⇒ a_{(h+1)} = a_{1}·q^{h} $$

Demostración:
Por definición de progresión geométrica: \( a_{h+1} = a_{h} · q \)
$$ a_{h+1} = a_{h} · q = (a_{1} · q^{h-1})·q = a_{1}·(q^{h-1}·q) = a_{1}·q^{h-1+1} = a_{1}·q^{h} ∎ $$

Se parte de la fórmula de suma de los \( n \) términos de una progresión geométrica. Se considera un \( n \) tan grande como \( ∞ \). Como sabemos \( a \) no puede ser nulo, y si lo elevamos a \( ∞ \), ese término valdrá cero.

$$ S_{n} = \frac {a_{1}·(1-q^n)}{1-q} ⇒ S_{∞} = \lim_{n \to ∞} \frac {a_{1}·(1-q^n)}{1-q} ⇒ S_{∞} = \frac {a_{1}·(1-0)}{1-q} ⇒ S_{∞} = \frac {a_{1}}{1-q} $$