Demostración:
Sea \( f(x) = a_{n}·x^{n} + a_{n-1}·x^{n-1} + ... + a_{1}·x \)
\( f(0) = a_{n}·0^{n} + a_{n-1}·0^{n-1} + ... + a_{1}·0 ⇔ f(0) = 0 ⇔ x = 0 \)

Demostración:
Sea \( f(x) = a_{n}·x^{n} + a_{n-1}·x^{n-1} + ... + a_{1}·x + a_{0} \).
Considerando que para todo número natural \( i \), se cumple que \( (1)^{i} = 1 \).
\( f(1) = a_{n}·1^{n} + a_{n-1}·1^{n-1} + ... + a_{1}·1 + a_{0} ⇔ f(1) = a_{n} + a_{n-1} + ... + a_{1} + a_{0} \)
Si la suma de todos los coeficientes es nula (como anticipamos en la hipótesis): \( a_{n} + a_{n-1} + ... + a_{1} + a_{0} = 0 \), se tiene que \( p(1) = 0 \), y en consecuencia \( x = 1 \).

Demostración:
Sea \( f(x) = a_{n}·x^{n} + a_{n-1}·x^{n-1} + ... + a_{1}·x + a_{0} \), y tener en cuenta que: \( a_{0}·x^{0} = a_{0} \), por lo que es de exponente par.
Sea \( k_{1} \) la suma de los coeficientes de términos de grado impar, y \( k_{2} \) la suma de los coeficientes de términos de grado par, tal que: \( a_{n} + a_{n-1} + ... + a_{1} + a_{0} = k_{1} + k_{2} \).
Recordemos que para todo natural \( i \) se cumple que:
$$ (-1)^{i} =
\begin{cases}
1 & \mbox{si } i \mbox{ es par} \\
-1 & \mbox{si } i \mbox{ es impar}
\end{cases} $$
Luego se cumple que \( p(-1) = k_{1}·(-1) + k_{2}·(1) \). Como la regla establece que \( k_{1} = k_{2} \), resulta \( p(-1) = -k_{1}+k_{1} ⇔ p(-1) = 0 ⇔ x = -1 \).