Universo Científico

Consideremos un punto \( P \) perteneciente a la cfa trigonométrica, que determina un ángulo \( \alpha \). Las coordenadas del punto \( P(x_{P};y_{P}) \), definen el seno y el coseno del ángulo, por lo que lo podemos expresar como: \( P(\text{cos} \, \alpha; \text{sen} \, \alpha) \).
Además sabemos que el radio es igual a la unidad, es decir: \( d(O,P) = 1 \).

Aplicamos la fórmula de distancia entre dos puntos:
$$ d(O, P) = \sqrt {(x_{P} - x_{O})^2 + (y_{P} - y_{O})^2} ⇒ 1 = \sqrt {(\text{cos} \, \alpha - 0)^2 + (\text{sen} \, \alpha - 0)^2} ⇒ 1 = \sqrt {(\text{cos} \, \alpha)^2 + (\text{sen} \, \alpha)^2} $$
$$ ⇒ 1^2 = \left (\sqrt {(\text{cos} \, \alpha)^2 + (\text{sen} \, \alpha)^2}\right )^2 ⇒ \text{sen} \,^2 x + \text{cos} \,^2 x = 1 $$

Hipótesis:
Las relaciones trigonométricas:
$$ \text{sen} \, \alpha = \frac {\text{cat. opuesto} \,}{\text{hipotenusa} \,} $$
$$ \text{cos} \, \alpha = \frac {\text{cat. adyacente} \,}{\text{hipotenusa} \,} $$
$$ \text{tan} \, \alpha = \frac {\text{cat. opuesto} \,}{\text{cat. adyacente} \,} $$

Tesis:
$$ \text{tan} \, \alpha = \frac {\text{sen} \, \alpha}{\text{cos} \, \alpha} $$

Demostración:
$$ \frac {\text{sen} \, \alpha}{\text{cos} \, \alpha} = \frac {\left (\frac {\text{cat. opuesto} \,}{\text{hipotenusa} \,}\right )}{\left ( \frac {\text{cat. adyacente} \,}{\text{hipotenusa} \,} \right )} = \frac {\text{cat. opuesto} \,}{\text{hipotenusa} \,} · \frac {\text{hipotenusa} \,}{\text{cat. adyacente} \,} = \frac {\text{cat. opuesto} \,}{\text{cat. adyacente} \,} ∧ \text{tan} \, \alpha = \frac {\text{cat. opuesto} \,}{\text{cat. adyacente} \,} ∴ \text{tan} \, \alpha = \frac {\text{sen} \, \alpha}{\text{cos} \, \alpha} $$