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Geometría analítica en el plano: circunferencia
Geometría analítica en el plano: circunferencia

Definición:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que distan de una medida (radio) a un punto fijo (centro).

La medida del centro de la cfa a cualquier punto de esta se conoce como radio y es constante.

Ecuación de la circunferencia:
· Forma resumida:
\( (x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2 \)

· Forma desarrollada:
\( x^2 + y^2 -2·\alpha·x - 2·\beta·y + \alpha^2 + \beta^2 - r^2 = 0 \)

Referencias:
· \( r \) = radio de la cfa.
· \( \alpha \) = abscisa del centro de la cfa.
· \( \beta \) = ordenada del centro de la cfa.


· Forma general de la ecuación de la cfa:
\( x^2 + y^2 +a·x +b·y + c = 0 \)

Donde \( a,b,c \) son números reales cualesquiera.

Datos útiles de esta última forma:
· Centro de la cfa: \( C \left ( -\frac {a}{2}, -\frac {b}{2} \right ) \)
· Radio de la cfa: \( r^2 =  \frac {a^2 + b^2 - 4·c^2}{4} ⇒ r = \frac {1}{2}·\sqrt {a^2 + b^2 - 4·c^2} \)

Referencias de esta última forma:
· \( a = -2·\alpha \)
· \( b = -2·\beta \)
· \( c = \alpha^2 + \beta^2 - r^2 \)

· Ver ejemplo

Observaciones:
· Cuando la ecuación de una cfa no tiene término independiente (término sin variable) es porque pasa por el origen.
· Cuando la ecuación de una cfa no tiene término variable en \( x \) de primer grado ni \( y \) de primer grado, entonces, el centro de la cfa es el origen de coordenadas \( O(0,0) \).
· Para que sea una cfa, su ecuación siempre debe tener los términos \( x^2 \) e \( y^2 \), y los coeficientes de estos deben ser iguales y nunca nulos.
· Cuando la cfa es tangente al eje \( O \vec y \), entonces, el radio es igual a la abscisa del centro.
· Cuando la cfa es tangente al eje \( O \vec x \), entonces, el radio es igual a la ordenada del centro.
· Cfa es una forma resumida de decir circunferencia.
Inecuaciones:

A diferencia de las rectas, que hay que calcular qué semiplano es positivo y qué semiplano es negativo, en la circunferencia esto es más fácil. El interior de la circunferencia siempre es negativo, mientras que el exterior es siempre positivo.



Esto quiere decir que si a las coordenadas de los puntos interiores de la cfa se los reemplaza en la expresión, el resultado será un número negativo. Si tomamos los puntos que forman la cfa y se reemplaza sus coordenadas en la expresión, el resultado será cero. Mientras que si tomamos a cualquiera de los puntos exteriores de la cfa, y reemplazamos sus coordenadas en la expresión, el resultado, será un número positivo. (Siempre que hablo de la expresión, hago referencia a a la expresión de la cfa)

Cuando se nos habla de una desigualdad y una cfa, no podemos dar un conjunto de puntos analíticamente, sino que debemos representar gráficamente la cfa y pintar la parte que corresponda.

Intersección de recta y cfa:

Se pueden dar únicamente tres casos:

· Que sean secantes:



Matemáticamente hablando:
$$ C∩r = \left\{ P_{1}, P_{2}\right\} $$

· Que sean tangentes:


Matemáticamente hablando:
$$ C∩r = \left\{ P_{1} \right\} $$

· Que sean exteriores:


Matemáticamente hablando:
$$ C∩r = ∅ $$

Estudio analítico general:
Si conocemos la ecuación de una cfa y una recta, podemos conocer cuál de estos casos se cumple. Para esto, formaremos un sistema de ecuaciones y resolveremos.

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 + -2·\alpha·x + -2·\beta·y + \alpha^2 + \beta^2 - r^2 = 0 \\ y = m·x + n \end{cases} $$

Si conocemos una cfa y una recta, ¿cuántos puntos serán el resultado de su intersección?
$$ \Delta = [2·m·(n-\alpha-\beta)]^2 - 4·(1+m^2)·(n^2-2·n·\beta + \alpha^2 + \beta^2 - r^2) $$

Si \( \Delta > 0 \), dos puntos serán el resultado de la intersección, por lo que serán secantes.
Si \( \Delta = 0 \), un punto será el resultado de la intersección, por lo que serán tangentes.
Si \( \Delta < 0 \), ningún punto será el resultado de la intersección, por lo que serán exteriores.
Hallar recta tangente a una cfa dado un punto de esta


Recta tangente:
Recordemos que una recta es tangente a una cfa en un punto dado, si y sólo si corta a esta en ese punto. También podemos decir que es una recta perpendicular al radio de la cfa en un punto dado.

Ecuación de la desdoblada de la tangente:
Sea una cfa: \( x^2 + y^2 -2·\alpha·x - 2·\beta·y + \gamma = 0 \) y un punto \( P(x_{P},y_{P}) \), la ecuación de la recta tangente a la cfa en el punto P es:
$$ x_{P}·x + y_{P}·y - \alpha·(x+x_{P}) - \beta·(y+y_{P}) + \gamma = 0 $$

(video) Ecuaciónde la circunferencia dado centro y radio
clic aqui para ver video

(video) centro y radio dada la ecuación generalde la circunferencia
clic aqui para ver video


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