27-10-2012, 3:31 PM
Geometría analítica en el plano: circunferencia
Definición:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que distan de una medida (radio) a un punto fijo (centro).
La medida del centro de la cfa a cualquier punto de esta se conoce como radio y es constante.
Ecuación de la circunferencia:
· Forma resumida:
\( (x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2 \)
· Forma desarrollada:
\( x^2 + y^2 -2·\alpha·x - 2·\beta·y + \alpha^2 + \beta^2 - r^2 = 0 \)
Referencias:
· \( r \) = radio de la cfa.
· \( \alpha \) = abscisa del centro de la cfa.
· \( \beta \) = ordenada del centro de la cfa.
· Forma general de la ecuación de la cfa:
\( x^2 + y^2 +a·x +b·y + c = 0 \)
Donde \( a,b,c \) son números reales cualesquiera.
Datos útiles de esta última forma:
· Centro de la cfa: \( C \left ( -\frac {a}{2}, -\frac {b}{2} \right ) \)
· Radio de la cfa: \( r^2 = \frac {a^2 + b^2 - 4·c^2}{4} ⇒ r = \frac {1}{2}·\sqrt {a^2 + b^2 - 4·c^2} \)
Referencias de esta última forma:
· \( a = -2·\alpha \)
· \( b = -2·\beta \)
· \( c = \alpha^2 + \beta^2 - r^2 \)
· Ver ejemplo
Observaciones:
· Cuando la ecuación de una cfa no tiene término independiente (término sin variable) es porque pasa por el origen.
· Cuando la ecuación de una cfa no tiene término variable en \( x \) de primer grado ni \( y \) de primer grado, entonces, el centro de la cfa es el origen de coordenadas \( O(0,0) \).
· Para que sea una cfa, su ecuación siempre debe tener los términos \( x^2 \) e \( y^2 \), y los coeficientes de estos deben ser iguales y nunca nulos.
· Cuando la cfa es tangente al eje \( O \vec y \), entonces, el radio es igual a la abscisa del centro.
· Cuando la cfa es tangente al eje \( O \vec x \), entonces, el radio es igual a la ordenada del centro.
· Cfa es una forma resumida de decir circunferencia.
Definición:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que distan de una medida (radio) a un punto fijo (centro).
La medida del centro de la cfa a cualquier punto de esta se conoce como radio y es constante.
Ecuación de la circunferencia:
· Forma resumida:
\( (x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2 \)
· Forma desarrollada:
\( x^2 + y^2 -2·\alpha·x - 2·\beta·y + \alpha^2 + \beta^2 - r^2 = 0 \)
Referencias:
· \( r \) = radio de la cfa.
· \( \alpha \) = abscisa del centro de la cfa.
· \( \beta \) = ordenada del centro de la cfa.
Deducción de la fórmula de la ecuación de la cfa:
Se considera un punto fijo de la cfa \( C(\alpha, \beta) \), luego se considera un punto \( P(x_{1}, y_{1}) / P∈C_{c, r} \).
Por definición de cfa: \( d(C, P) = r ⇒ \sqrt{(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2} = r ⇒ (x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2 \).
Desarrollamos los cuadrados y despejamos de forma tal que quede todo de un mismo miembro, luego reemplazamos por lo siguiente:
$$ \begin{cases} a = -2·\alpha \\ b = -2·\beta \\ c = \alpha^2 + \beta^2 - r^2 \end{cases} $$
$$ (x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2 ⇒ x^2 + y^2 -2·\alpha·x - 2·\beta·y + \alpha^2 + \beta^2 - r^2 = 0 ⇒ x^2 + y^2 +a·x +b·y + c = 0 $$
Se considera un punto fijo de la cfa \( C(\alpha, \beta) \), luego se considera un punto \( P(x_{1}, y_{1}) / P∈C_{c, r} \).
Por definición de cfa: \( d(C, P) = r ⇒ \sqrt{(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2} = r ⇒ (x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2 \).
Desarrollamos los cuadrados y despejamos de forma tal que quede todo de un mismo miembro, luego reemplazamos por lo siguiente:
$$ \begin{cases} a = -2·\alpha \\ b = -2·\beta \\ c = \alpha^2 + \beta^2 - r^2 \end{cases} $$
$$ (x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2 ⇒ x^2 + y^2 -2·\alpha·x - 2·\beta·y + \alpha^2 + \beta^2 - r^2 = 0 ⇒ x^2 + y^2 +a·x +b·y + c = 0 $$
· Forma general de la ecuación de la cfa:
\( x^2 + y^2 +a·x +b·y + c = 0 \)
Donde \( a,b,c \) son números reales cualesquiera.
Datos útiles de esta última forma:
· Centro de la cfa: \( C \left ( -\frac {a}{2}, -\frac {b}{2} \right ) \)
· Radio de la cfa: \( r^2 = \frac {a^2 + b^2 - 4·c^2}{4} ⇒ r = \frac {1}{2}·\sqrt {a^2 + b^2 - 4·c^2} \)
Referencias de esta última forma:
· \( a = -2·\alpha \)
· \( b = -2·\beta \)
· \( c = \alpha^2 + \beta^2 - r^2 \)
· Ver ejemplo
Observaciones:
· Cuando la ecuación de una cfa no tiene término independiente (término sin variable) es porque pasa por el origen.
· Cuando la ecuación de una cfa no tiene término variable en \( x \) de primer grado ni \( y \) de primer grado, entonces, el centro de la cfa es el origen de coordenadas \( O(0,0) \).
· Para que sea una cfa, su ecuación siempre debe tener los términos \( x^2 \) e \( y^2 \), y los coeficientes de estos deben ser iguales y nunca nulos.
· Cuando la cfa es tangente al eje \( O \vec y \), entonces, el radio es igual a la abscisa del centro.
· Cuando la cfa es tangente al eje \( O \vec x \), entonces, el radio es igual a la ordenada del centro.
· Cfa es una forma resumida de decir circunferencia.
