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Problemas de familia de rectas
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1. Analizar si las siguientes dos familias forman haz o no:
$$ (t) (k+1)·x + (2·k+2)·y - 5·k + 3 = 0 $$
$$ (s) (2·q+1)·x + (-q+3)·y + q - 10 = 0 $$
2. \( (t) (2·k+1)·x + (k-3)·y - k + 5 = 0 \)
a. Hallar la recta de la familia que pasa por \( A (-1, 2) \).
b. Hallar la recta que sea paralela a \( 9·x + y - 7 = 0 \).
c. Hallar la recta que sea perpendicular a \( x + 5·y + 6 = 0 \).
d. Hallar la recta que sea paralela a \( O \vec x \).
e. Hallar la recta que sea paralela a \( O \vec y \).
f. Investigar familia.
3. Sea la familia de rectas: \( 2·k·x + (k^2-1)·y + 2·k^2 - 2·k + 4 = 0 \), hallar la región del plano por donde pasan dos rectas de la familia, una o ninguna.
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Cita (marcos364) 1. Analizar si las siguientes dos familias forman haz o no:
(t)(k+1)⋅x+(2⋅k+2)⋅y−5⋅k+3=0
Hallamos la pendiente de la familia. Observamos y vemos que la ecuación de la recta anterior es de la forma: \( a·x + b·y + c = 0 \), cuya pendiente se puede calcular como: \( m = - \frac {a}{b} \)
En nuestro caso:
$$ m = - \frac {(k+1)}{(2·k+2)} $$
Esto sucede bajo la condición de que \( k ≠ -1 \), ya que en tal caso quedaría una división entre 0, lo cual no es posible.
Pero vemos que la podemos simplificar:
$$ m = \frac {-1·(k+1)}{2·(k+1)} ⇒ m = - \frac {1}{2} $$
Cita Como vemos que la pendiente no depende de \( k \), entonces \( (t) \) es un haz impropio. |
Cita (marcos364) (s)(2⋅q+1)⋅x+(−q+3)⋅y+q−10=0
Igual que en el caso anterior: hallamos la pendiente (m).
$$ m = - \frac {-(2·q + 1)}{(-q + 3)} $$
Bajo la condición de que \( q ≠ 3 \).
Como la pendiente depende de \( q \), no forman haz propio.
Ahora vamos a investigar si forman haz propio o si no forman haz.
Aplicamos distributiva:
$$ (2·q+1)·x + (-q+3)·y + q - 10 = 0 $$
$$ 2·q·x + x -q·y + 3·y + q - 10 = 0 $$
Ordenamos en el parámetro:
$$ (2·x - y + 1)·q + (x + 3·y - 10) = 0 $$
Igualamos cada coeficiente a 0 y formamos un sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} (2·x - y + 1) \\ (x + 3·y - 10) \end{cases} $$
Resolvemos y llegamos a:
$$ \left\{ 1, 3 \right\} $$
Como llegamos a un valor finito, un punto, podemos afirmar que: la familia \( s \) forma un haz propio de centro \( P (1, 3) \). |
Cita (marcos364) 2. (t)(2⋅k+1)⋅x+(k−3)⋅y−k+5=0a. Hallar la recta de la familia que pasa por A(−1,2).
$$ (t) (2·k+1)·x + (k-3)·y - k + 5 = 0 $$
Vamos a sustituir las coordenadas del punto por \( x \) e \( y \).
$$ (2·k+1)·(-1) + (k-3)·(2) - k + 5 = 0 $$
$$ k = -2 $$
Una vez que hallamos el valor del parámetro lo reemplazamos en la ecuación original:
$$ (2·(-2)+1)·(-1) + ((-2)-3)·(2) - (-2) + 5 = 0 $$
Respuesta:
$$ -3·x + 5·y + 7 = 0 $$ |
Cita (marcos364) b. Hallar la recta que sea paralela a 9⋅x+y−7=0.
Hallamos la pendiente de la recta dada:
$$ m = - 9 $$
Y la pendiente de la familia de rectas:
$$ m = \frac {-2·k - 1}{k - 3} $$
Con la condición de que: \( k ≠ 3 \).
Igualamos las pendientes:
$$ \frac {-2·k - 1}{k - 3} = -9 ⇒ -2·k - 1 = -9·(k - 3) ⇒ k = 4 $$
Sustituimos en la ecuación de la familia de rectas:
$$ (2·4+1)·x + (4-3)·y - 4 + 5 = 0 $$
Respuesta:
$$ 9·x + y + 1 = 0 $$ |
Cita (marcos364) c. Hallar la recta que sea perpendicular a x−5⋅y+6=0.
$$ m = - \frac {1}{5} $$
Igualamos las pendientes y resolvemos:
$$ \frac {-2·k - 1}{k - 3} = - \frac {1}{5} ⇒ k = 2 $$
Reemplazamos en la ecuación de la familia y obtenemos:
$$ 5·x - y + 3 = 0 $$ |
Cita (marcos364) d. Hallar la recta que sea paralela a Ox⃗ .
$$ (2·k+1)·x + (k-3)·y - k + 5 = 0 $$
Para que esto suceda, igualamos a cero:
$$ 2·k+1 = 0 ⇒ k - \frac {1}{2} $$
Reemplazamos y resulta en:
$$ y = \frac {11}{7} $$ |
Cita (marcos364) e. Hallar la recta que sea paralela a Oy⃗ .
$$ (2·k+1)·x + (k-3)·y - k + 5 = 0 $$
Por lo que igualamos a cero:
$$ k-3 = 0 ⇒ k = 3 $$
Reemplazamos:
$$ x = - \frac {2}{7} $$ |
Cita (marcos364) f. Investigar familia.
$$ m = \frac {-(2·k + 1)}{k - 3}, k≠3 $$
No forma haz impropio.
Ordenamos en el parámetro:
$$ (2·x + y - 1)·k + (x - 3·y + 5) = 0 $$
Formamos el sistema:
$$ \begin{cases} 2·x + y - 1 \\ x - 3·y + 5 \end{cases} $$
\( (t) \) forma un haz propio de centro \( P (-\frac {2}{7}, \frac {11}{7}) \). |
Cita (marcos364) 3. Sea la familia de rectas: 2⋅k⋅x+(k2−1)⋅y+2⋅k2−2⋅k+4=0, hallar la región del plano por donde pasan dos rectas de la familia, una o ninguna.
Como el problema dice "estudiar en qué región del plano pasan dos, una o ninguna", el problema está asociado a una ecuación de segundo grado, y en particular a su discriminante.
$$ \Delta = b^2 - 4·a·c $$
Se refiere a una ecuación de segundo grado en el parámetro.
Ordenamos en el parámetro:
$$ (y+2)·k^2 + (2·x - 2)·k + (-y+4)=0 $$
Esto se cumple siempre y cuando \( y ≠ -2 \).
$$ \Delta = (2·x-2)^2 - 4·(y+2)·(-y+4) $$
$$ \Delta = 4·(x^2 + y^2 - 2·x - 2·y - 7) $$
Igualamos a cero y graficamos la cfa:
$$ x^2 + y^2 - 2·x - 2·y - 7 = 0 $$
Resolvemos gráficamente:
Cita Referencias:
\( \Delta = 0 → \) por cada punto pasa una recta de la familia.
\( \Delta > 0 → \) por cada punto pasan dos rectas de la familia.
\( \Delta < 0 → \) no pasa ninguna recta de la familia.
Aún nos falta evaluar el caso en que \( y = -2 \):
$$ (y+2)·k^2 + (2·x - 2)·k + (-y+4)=0 $$
$$ (2·x - 2)·k + 6 = 0 $$
En el caso en que:
\( x ≠ 1 → \) pasa una recta.
\( x = 1 → \) no pasa ninguna recta.
Por el punto \( A (1,-2) \) no pasa ninguna recta de la familia. |
