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Demostrar que un número es entero, resta de radicales

Demostrar que $ x $ es entero:

$$ x = \sqrt {3 + 2·\sqrt{2}} - \sqrt {3 - 2·\sqrt{2}} $$

$$ x = \sqrt {3 + 2·\sqrt{2}} - \sqrt {3 - 2·\sqrt{2}} $$

Elevamos ambos miembros al cuadrado:
$$ x^2 = 3 + 2·\sqrt {2} - 2·\sqrt {3 + 2·\sqrt {2}}·\sqrt {3 - 2·\sqrt {2}} + 3 - 2·\sqrt {2} $$
$$ x^2 = 6 - 2·\sqrt {(3 + 2·\sqrt {2})·(3 - 2·\sqrt {2})} $$
$$ x^2 = 6 - 2·\sqrt {1} $$
$$ x^2 = 6 - 2 $$
$$ x^2 = 4 $$
$$ x = ±2 $$

$$ S = \left\{ +2, -2 \right\} $$

$$ +2∈ℤ ∧ -2∈ℤ ∴ x∈ℤ ∎$$

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marcos364

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