Universo Científico :: Hallar coeficientes de funciones cuadráticas

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Hallar coeficientes de funciones cuadráticas

Halla los posibles valores de $ m $ para que se cumpla la condición planteada en cada caso:
a. $ f(x) = x^2 + m·x + 3 $ tiene una raíz doble.
b. $ f(x) = 2·x^2 - x - m $ no tiene raíces reales.
c. El gráfico de las funciones de la forma $ f(x) = m·x^2 - x - 1 $ intersecta el eje $ x $ en dos puntos.
d. La ecuación $ x^2 + m = 0 $ tiene solución en $ ℝ $.

Antes que nada, vamos recordar un poquito y pensar otro tanto.

Las ecuaciones cuadráticas son de la forma: $ a·x^2 + b·x + c = 0 $, donde necesariamente $ a ≠ 0 $, y $ (a, b, c) $ reciben el nombre de coeficientes.

Si despejamos la variable $ x $ de la anterior expresión, vamos a llegar a la siguiente ecuación, la cual recibe el nombre de fórmula de Bháskara, en honor a su descubridor:

$$ x_{1,2} = \frac {-b ± \sqrt {b^2 - 4·a·c}}{2·a} $$

Ahora vamos a pensar un poquito (vamos que no duele).

Sabemos que una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces, y vemos en la anterior expresión que hay un signo de $ ± $, léase "signo de más-menos", lo cual significa hay dos posibilidades:

$$ x_{1} = \frac {-b + \sqrt {b^2 - 4·a·c}}{2·a} ∧ x_{2} = \frac {-b - \sqrt {b^2 - 4·a·c}}{2·a} $$

La parte que está por debajo del signo de radical recibe el nombre de discriminante, y se lo denota con la letra griega delta mayúscula ( $ \Delta $ ).

Reemplazando en los anteriores casos resulta en:

$$ x_{1} = \frac {-b + \sqrt {\Delta}}{2·a} ∧ x_{2} = \frac {-b - \sqrt {\Delta}}{2·a} $$

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Veamos algo, si:
$ \Delta > 0 → $ va a tener dos raíces reales diferentes.
$ \Delta = 0 → $ va a tener dos raíces reales iguales (o raíz doble).
$ \Delta < 0 → $ no va a tener raíces reales.

Ahora estamos en condiciones de aplicar lo que sabemos.

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a. $ f(x) = x^2 + m·x + 3 $ tiene una raíz doble.

Como vimos anteriormente, la condición que se tiene que cumplir para que una ecuación tenga una raíz doble es que su discriminate sea 0.
$$ b^2 - 4·a·c = 0 $$

Sustituyendo los coeficientes:
$$ (m)^2 - 4·(1)·(3) = 0 ⇒ m^2 - 12 = 0 ⇒ m = ± \sqrt {12} $$

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b. $ f(x) = 2·x^2 - x - m $ no tiene raíces reales.

Para que una ecuación no tenga raíces reales, su discriminante debe ser un número negativo (o sea, menor a cero).
$$ b^2 - 4·a·c < 0 $$

Sustituyendo los coeficientes:
$$ (-1)^2 - 4·(2)·(-m) < 0 ⇒ 1 + 8·m < 0 ⇒ 8·m < -1 ⇒ m < - \frac {1}{8} $$

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c. El gráfico de las funciones de la forma $ f(x) = m·x^2 - x - 1 $ intersecta el eje $ x $ en dos puntos.

Si intersecta al eje $ x $ en dos puntos significa que tiene dos raíces (cada vez que intersecta al eje $ x $ estamos en presencia de una raíz). O sea, su discriminante debe ser un número mayor que 0.
$$ b^2 - 4·a·c > 0 $$

Sustituyendo los coeficientes:
$$ (-1)^2 - 4·(m)·(-1) > 0 ⇒ +1 + 4·m > 0 ⇒ 4·m > - 1 ⇒ m > - \frac {1}{4} $$

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d. La ecuación $ x^2 + m = 0 $ tiene solución en $ ℝ $.

Para que una ecuación tenga solución dentro del conjunto de los números reales, el discriminante debe ser un número natural, o sea, un número positivo o 0.
$$ b^2 - 4·a·c ≥ 0 $$

Sustituyendo los coeficientes:
$$ (0)^2 - 4·(1)·(m) ≥ 0 ⇒ -4·m ≥ 0 ⇒ m ≤ 0 $$

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A tener en cuenta: en una inecuación, siempre que multiplicamos o dividimos por un factor negativo: se invierte la desigualdad.

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