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Simplificar y calcular factoriales
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Simplificar y calcular el resultado de las siguientes expresiones:
a. $$ \frac {100!}{98!} = 9.900 $$
b. $$ \frac {5·149!}{150!} = \frac {1}{30} $$
c. $$ \frac {x!}{(x-1)!} = x $$
d. $$ \frac {(3n-2)!}{(3n)!} = \frac {1}{(3n-1)·3n} $$
Ya están las respuestas, pero hace falta el razonamiento.
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Comencemos con el primero:
$$ \frac {100!}{98!} $$
Vemos que al \( 100! \) lo podemos escribir como: \( 100·99·98! \), por lo que lo reemplazamos:
$$ \frac {100·99·98!}{98!} $$
Como el \( 98! \) está tanto arriba como abajo: lo cancelo, resultando:
$$ 100·99 $$
Quedando:
$$ 9.900 $$
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$$ \frac {5·149!}{150!} $$
Vemos que el \( 150! \) lo podemos escribir como: \( 150·149! \)
Reemplazando, resulta:
$$ \frac {5·149!}{150·149!} $$
Cancelamos los \( 149! \) ya que aparecen tanto en el numerador como en el denominador.
$$ \frac {5}{150} $$
Dividiendo numerador y denominador entre 5, resulta:
$$ \frac {1}{30} $$
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$$ \frac {x!}{(x-1)!} $$
Este es más abstracto, pero aplicamos la definición y trabajamos igual que con los otros.
$$ x! = x·(x-1)! $$
Reemplazando resulta en:
$$ \frac {x·(x-1)!}{(x-1)!} $$
Vemos que el factor \((x-1)! \) está presente tanto en el numerador como en el denominador, por lo que lo cancelamos.
Resultando en:
$$ x $$
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$$ \frac {(3n-2)!}{(3n)!} $$
Tenemos que: \( (3n)! = (3n)·(3n-1)·(3n-2)! \), reemplazando resulta:
$$ \frac {(3n-2)!}{(3n)·(3n-1)·(3n-2)!} $$
Como el factor \( (3n-2)! \) está presente tanto en numerador como denominador podemos cancelarlo, y llegamos a:
$$ \frac {1}{(3n)·(3n-1)} $$
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