Comencemos:
Primero que nada, vamos a intentar sacarnos de encima el radical del denominador, para esto utilizaremos una propiedad de las fracciones que dice que "si multiplicamos por un mismo número tanto el numerador como el denominador, la equivalencia se mantiene":
$$ \frac {a·c}{b·c} = \frac {a}{b} $$
Por lo que, multiplicaremos tanto numerador como denominador por \( \sqrt {2} \):
$$ \frac {\sqrt {8}}{\sqrt {2}} = \frac {\sqrt {8} · \sqrt {2}}{\sqrt {2}· \sqrt {2}} = \frac {\sqrt {8} · \sqrt {2}}{2}$$
Ahora trataré de racionalizar el numerador, comenzando por la raíz de ocho: debo encontrar dos números que multiplicados entre sí me den ocho: 2·4 = 8.
$$ \sqrt {8} = \sqrt {4} · \sqrt {2}$$
Ahora sustituiré esto en la anterior expresión:
$$ \frac {\sqrt {4} · \sqrt {2} · \sqrt {2}}{2}$$
Ahora multiplicaré y trataré de ir desarrollando la expresión:
$$ \frac {\sqrt {4} · \sqrt {2} · \sqrt {2}}{2} = \frac {\sqrt {4} · 2}{2} $$
Pero la raíz de cuatro es dos:
$$ \sqrt {4} = 2 $$
Así que me queda:
$$ \frac {2 · 2}{2} = \frac {4}{2} = 2 $$
Finalmente, llegamos al resultado:
$$\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {2}} = 2$$