Bien, comencemos:
Primero que nada vamos a descomponer la velocidad en x y en y.
$$v_{ox} = v_{o}·cos \alpha = (50 \frac {m}{s}) · cos50º = 43,5 \frac {m}{s} $$
$$ v_{oy} = v_{o}·sen \alpha = (50 \frac {m}{s}) · sen50º = 25 \frac {m}{s} $$
Ahora que tenemos las velocidades vamos a la fórmula de altura:
$$\Delta y = v_{oy}· \Delta t - \frac {g· \Delta t^2}{2}$$
$$5 = 25· \Delta t - 5· \Delta t^2$$
$$\Delta t^2-5·\Delta t+1=0$$
Resolvemos esta ecuación, su conjunto solución son los momentos -tiempos- en que el proyectil se encuentra a exactamente 5 metros de altura.
S = {0,2 ; 5}
Tenemos dos tiempos que cumplen estas condiciones, por lo cual, deberemos calcular la distancia en ambos casos.
Aplicamos la fórmula de velocidad en el eje x, ya que nos importa el desplazamiento en este eje.
Para el primer tiempo:
$$v_{x} = \frac {\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow \Delta x = v_{x}·\Delta t = (43,5 \frac {m}{s})·(0,2 s)=8,7m$$
Para el segundo tiempo:
$$v_{x} = \frac {\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow \Delta x = v_{x}·\Delta t = (43,5 \frac {m}{s})·(5 s)=217,5m$$
Quote
Respuesta:
La distancia desde el punto de partida hasta el primer punto P es de 8,7 m y hasta el segundo punto P es de 217,5 m en horizontal.