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El número i elevado a la i, ¿es imaginario? Demostrarlo

marcos364

21-12-2013, 8:22 PM
El número \( i^i \), ¿es un número complejo imaginario? Demostrarlo.

Admin

21-12-2013, 8:23 PM
Partimos de la fórmula de Euler:
$$ e^{i·x} = \cos x + i·\mbox {sen } x $$

Se considera la siguiente igualdad:
$$ x = \frac {\pi}{2} $$

Y se reemplaza en la fórmula:
$$ e^{i·\frac {\pi}{2}} = \cos (\frac {\pi}{2}) + i·\mbox {sen } (\frac {\pi}{2}) $$
$$ e^{i·\frac {\pi}{2}} = i $$

Elevamos ambos miembros a la \( i \):
$$ e^{-\frac {\pi}{2}} = i^i $$

Llegamos a que:
$$ i^i = \frac {1}{\sqrt {e^{\pi}}} $$

Hemos demostrado que \( i^i \) es un número real.

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