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Conjuntos numéricos
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Conjunto de los números naturales
Es el primer y más simple de los conjuntos numéricos. Fue el primero que existió; se inventó por la necesidad de contar. Es un conjunto formado por infinitos elementos.
Se denota como: ℕ
$$ ℕ = \left\{ 0,1,2, ... \right\} $$
Subconjuntos que lo componen:
· Conjunto de los números primos
· Conjunto de los números compuestos
· Conjunto al que pertenecen el número 0 y el número 1
Propiedades:
Comentarios:
· Visto desde un punto de vista puramente matemático, se dice que este conjunto es un grupo abeliano.
· Tanto la adición como la multiplicación, son operaciones cerradas en ℕ.
· Es un conjunto discreto. Entre dos elementos lo suficientemente cercanos, no puede existir un tercero entre medio de estos. E.g.: entre los elementos 3 y 2, no existe ningún otro elemento que pertenezca a este conjunto.
Definición axiomática del conjunto (axiomas de Peano):
a. El 0 es un número natural.
b. Si \(n\) es un número natural, entonces el sucesor de \(n\) también es un número natural.
c. El 0 no es el sucesor de algún número natural.
d. Si hay dos números naturales \(n\) y \(m\) con el mismo sucesor, entonces \(n\) y \(m\) son el mismo número natural.
e. Principio de inducción completa: si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.
Existen discusiones sobre este conjunto. Algunos matemáticos afirman que el elemento 0 pertenece al conjunto, otros lo niegan. Aquí en Uruguay, consideramos que \( 0∈ℕ \). Cuando se excluye a este elemento del conjunto, se denota como: \( ℕ^{*} = ℕ-\left\{ 0 \right\} \).
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Conjunto de los números enteros
Es el conjunto de formado por todos los números que no tienen coma. Es un conjunto formado por infinitos elementos.
Se denota como: ℤ
$$ ℤ = \left\{ ..., -2, -1, 0, +1, +2, ... \right\} $$
Subconjuntos:
· Conjunto de los números enteros positivos: \( ℤ^{+} \)
· Conjunto de los números enteros negativos: \( ℤ^{-} \)
· Conjunto de los números enteros excluyendo al 0: \( ℤ^{*} \)
Comentarios:
· Es un conjunto discreto. Entre dos elementos lo suficientemente cercanos, no puede existir un tercero entre medio de estos. E.g.: entre los elementos 3 y 2, no existe ningún otro elemento que pertenezca a este conjunto.
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Conjunto de los números racionales
Es el conjunto formado por todos los números que pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Es un conjunto formado por infinitos elementos.
Se denota como: ℚ
Subconjuntos:
· Conjunto de los números naturales. Se dice que: \( ℕ ⊂ ℚ \)
· Conjunto de los números enteros. Se dice que: \( ℤ ⊂ ℚ \)
Comentarios:
· Es un conjunto denso. Entre dos elementos lo suficientemente cercanos, siempre habrán infinitos elementos. Para hallar uno de estos elementos, se puede usar la siguiente fórmula:
$$ \frac {a+b}{2}, (a,b)∈ℚ $$
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Conjunto de los números irracionales
Es el conjunto formado por todos los números que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Es un conjunto formado por infinitos elementos.
Este conjunto carece de un símbolo propio para denotarse, se suele expresar como: \( ℝ-ℚ \)
Comentarios:
· Es un conjunto denso. Entre dos elementos lo suficientemente cercanos, siempre habrán infinitos elementos.
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Conjunto de los números imaginarios
Es el conjunto formado por todos los números que nacen del resultado de realizar una raíz de índice par a un número negativo. Es un conjunto formado por infinitos elementos.
Este conjunto carece de un símbolo propio para denotarse, se suele expresar como: \( ℂ - ℝ \). Aunque muchas veces se refiere a este conjunto a través de las letras "Im" como abreviación de imaginarios.
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Conjunto de los números complejos
Es uno de los conjuntos numéricos más reciente. Es un conjunto formado por infinitos elementos.
Se denota como: ℂ
Cumple que: \( ℂ = ℝ ∪ Im \)
Comentarios:
· Es un conjunto denso. Entre dos elementos lo suficientemente cercanos, siempre habrán infinitos elementos.
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