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Función polinómica

Una función polinómica, es aquella función que tiene la forma:
$$ f(x) = \sum_{i=0}^{i=n} (a_{i}·x^{i}) $$

Las funciones polinómicas se diferencian dependiendo su grado. El grado es el mayor exponente al que está elevada la variable si su coeficiente no es nulo. Recordemos que los coeficientes siempre deben ser número reales.

Las funciones de primer y segundo grado son las más conocidas y estudiadas, pues su representación gráfica siempre es la misma. Las funciones polinómicas de grado tercero en adelante, difieren entre sí, dependiendo de sus coeficientes.

El dominio de todas las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales. Con el codominio la cosa varía. El codominio de las funciones de grado impar, es el conjunto de los números reales.

Propiedades importantes:
· Las funciones de grado segundo en adelante, presentan dirección asintótica paralela al eje $ O \vec y $.
· Todas las funciones polinómicas son continuas.
· Las funciones polinómicas no presentan puntos singulares.
· Toda función polinómica de grado impar, tiene al menos una raíz real.

Teoremas:
· Teorema de descomposición factorial: toda función polinómica, se puede expresar como factores, de la forma:
$$ f(x) = a·(x-\alpha_{1})·(x-\alpha_{2})·...·(x-\alpha_{n}) $$ donde $ a $ es el coeficiente del término principal, y $ \alpha $ son las raíces del polinomio.
· Teorema del resto: el resto de dividir una función polinómica $ p(x) $ entre un binomio $ (x - a) $, es igual a $ p(a) $.

· Teorema de Descartes: la condición necesaria y suficiente para que $ p(x) $ sea divisible entre $ (x-a) $ es que $ a $ sea raíz de $ p(x) $.

Extremos de una función polinómica

Máximo local (M): es un punto perteneciente a la función, que cumple que su derivada (pendiente o coeficiente angular) en ese punto es nula, y que antes de llegar a él fue positiva, y luego de él, es negativa.
Mínimo local (m): es un punto perteneciente a la función, que cumple que su derivada (pendiente o coeficiente angular) en ese punto es nula, y que antes de llegar a él fue negativa, y luego de él, es positiva.

Teoremas:
· Teorema primero: la condición necesaria y suficiente para que una función presente un máximo o un mínimo en un punto $ x = a $, es que $ f'(a) = 0 $.
· Teorema segundo: si $ f $ es una función polinómica de grado $ n $, entonces la gráfica de $ f $ tiene a lo sumo $ n - 1 $ extremos locales.

Cálculo de los extremos locales:
Sea una función $ f $, de la cual se pretenden hallar sus extremos locales:
1. Se hallan las raíces reales de $ f(x) $.
2. Se calcula $ f'(x) $ y se hallan sus raíces reales.
3. La abscisa de los extremos locales de $ f(x) $, son las raíces de $ f'(x) $ que no son raíces de $ f(x) $; deben ser número reales: $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} $.
4. Para conocer el valor de ordenada de cada extremo local, se deberá hacer $ f(\alpha_{1}), f(\alpha_{2}), ..., f(\alpha_{n}) $, respectivamente.
5. Se determinará si es un máximo o un mínimo, empleando la definición expuesta más arriba.

Raíces de una función polinómica

Una raíz es es valor de abscisa del punto que resulta de la intersección de la función con el eje $ O \vec x $, por tanto cumplirá que si $ \alpha $ es raíz de $ f(x) $, entonces $ f(\alpha) = 0 $.

Teoremas:
· Teorema fundamental del álgebra: una función polinómica de grado $ n $ tiene como máximo $ n $ raíces reales distintas y tiene exactamente $ n $ raíces complejas.

Hay veces que una función presenta más de una raíz para un valor de abscisa, esto sería de menor importancia en el estudio de ecuaciones, pero con lo que respecta a las funciones, es muy importante, ya que cambia el comportamiento del gráfico.

Todas las raíces de orden par: entiéndase raíz doble, cuádruple, etc. tiene la forma gráfica siguiente:

Si por el contrario, la función presenta varias raíz de orden impar: entiéndase raíz triple, quinta, etc. tiene la forma gráfica siguiente:

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