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Demostraciones de irracionalidad de números
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Demostraciones de irracionalidad de números
En este tópico recogeré diversas demostraciones sobre la irracionalidad de números. Debemos recordar que la condición necesaria y suficiente para que un número sea racional es que se puede escribir como cociente de dos números naturales, si esto no sucede, necesariamente estamos en presencia de un número irracional.
Los números irracionales presentan diversas características, como por ejemplo, que los decimales (números después de la coma) son infinitos y no repiten ninguna secuencia.
El número más importante de la geometría es el número irracional \( \pi \), este número es trascendente, esto significa que no se puede obtener como resultado de ninguna ecuación de coeficientes racionales. Dicho en criollo, es un número que no se puede obtener a través de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división ni radicación, ni aunque se realizaran todas éstas simultáneamente. Estas demostraciones acerca de la irracionalidad de los números irracionales trascendentes, generalmente, es más compleja que la que se demuestran para los irracionales algebraicos (no trascendentes).
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Demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos:
Se demostrará por el absurdo. Se dice que un número es racional si se puede expresar como cociente de dos números naturales, por lo que supondremos que existen tales números que satisfagan que su cociente dé \( \sqrt {2} \).
Hipótesis:
\( a,b∈ℕ \)
\( b ≠ 0 \) por definición de división.
\( a,b \) son primos entre sí (condición para que una fracción sea irreducible)
Tesis:
\( \sqrt {2}∈(ℝ-ℚ) \)
Demostración:
Suponemos lo siguiente:
$$ \frac {a}{b} = \sqrt {2} ⇒ a = \sqrt {2}·b ⇒ a^2 = 2·b^2 $$
Como \( b \) es un número natural, al multiplicarlo por 2, se obtiene inevitablemente, un número par; esto quiere decir que \( a^2 \) es par.
Para que el cuadrado de un número sea par, necesariamente este número debe serlo también; de aquí obtenemos que \( a \) es par.
Por definición de número par, podemos escribir lo siguiente: \( a = 2·m, m∈ℕ \), y lo sustituimos en la expresión que veníamos trabajando:
$$ (2·m)^2 = 2·b^2 ⇒ 4·m^2 = 2·b^2 ⇒ 2·m^2 = b^2 $$
De aquí deducimos que \( b^2 \) es par, por lo tanto \( b \) también será par.
Llegamos a que \( a \) y \( b \) son ambos pares, por lo tanto no pueden ser primos entre sí, lo cual es absurdo (contradice la hipótesis). Por lo tanto, \( \sqrt{2} \) no puede ser racional, por lo que será irracional. \( ∎ \)
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Demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de cinco:
Se demostrará por el absurdo. Se dice que un número es racional si se puede expresar como cociente de dos números naturales, por lo que supondremos que existen tales números que satisfagan que su cociente dé \( \sqrt {5} \).
Hipótesis:
\( a,b∈ℕ \)
\( b ≠ 0 \) por definición de división.
\( a,b \) son primos entre sí (condición para que una fracción sea irreducible)
Tesis:
\( \sqrt {5}∈(ℝ-ℚ) \)
Demostración:
Suponemos lo siguiente:
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Demostración de la irracionalidad de la raíz cúbica de dos:
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Demostración de la irracionalidad del número \( \pi \):
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Demostración de la irracionalidad del número \( e \):
La demostración se realiza por el absurdo.
Hipótesis:
$$ e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} $$
(la igualdad surge a partir de la serie de Taylor para \( y=1 \) de la expresión \( e^{y} \)).
\( a,b∈ℕ \)
\( b≠0 \) por definición de división.
Tesis:
\( e ∈(ℝ-ℚ) \)
Demostración:
Suponemos que:
$$ e = \frac {a}{b} $$
Se define un número \( x \) que cumple la siguiente condición:
$$ x = b!\,\biggl(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\biggr) $$
Sustituimos \( e \) por su igualdad equivalente:
$$ x = b!\,\biggl(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\biggr) = a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}\, $$
El primer término es un entero, y cada fracción en la suma es un entero ya que \( n≤b \) para cada término. Por lo tanto, \( x \) es un entero.
Ahora probaremos que \( 0 < x < 1 \). Primero, insertamos la serie representación de \( e \) en la definición de \( x \) para obtener:
$$ x = \sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!}>0\, $$
Para todos los términos con \( n ≥ b + 1 \) tenemos el estimado superior:
$$ \frac{b!}{n!} =\frac1{(b+1)(b+2)\cdots(b+(n-b))} \le\frac1{(b+1)^{n-b}}\, $$
El cual es estricto aún para cada \( n ≥ b + 2 \). Cambiando el índice de la sumatoria a \( k = n - b \) y usando la fórmula para la serie geométrica infinita, obtenemos:
$$ x
=\sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!}
< \sum_{k=1}^\infty\frac1{(b+1)^k}
=\frac{1}{b+1}\biggl(\frac1{1-\frac1{b+1}}\biggr)
= \frac{1}{b}
\le 1. $$
Como no hay un entero entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, y por lo tanto, \( e \) debe ser irracional.
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