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| Raíz cuadrada de un número complejo en forma binómica |
15-09-2013, 10:31 PM
Aplicamos la definición de raíz cuadrada de un número:
$$ \sqrt {-3 + 4·i} = z ⇔ z^2 = -3 + 4·i ⇒ (a + b·i)^2 = -3 + 4·i ⇒ a^2 + 2·a·b·i - b^2 = -3 + 4·i $$ Igualamos las partes reales por un lado, y las imaginarias por otro. $$ a^2 - b^2 = -3 $$ $$ 2·a·b = 4 $$ Ahora tenemos un sistema de ecuaciones de 2x2 (dos variables, dos incógnitas) y lo resolveremos por el método de sustitución (es imposible aplicar reducción en este caso). Recordemos este método: nuestro objetivo es despejar un variable en una ecuación y sustituirla en la otra. Despejo \( a \) en la segunda ecuación: $$ 2·a·b = 4 ⇒ a = \frac {4}{2·b} ⇒ a = \frac {2}{b} $$ Sustituyo en la primera ecuación: $$ a^2 - b^2 = -3 ⇒ (\frac {2}{b})^2 - b^2 = -3 ⇒ b^4 - 3·b^2 - 4 = 0 $$ La ecuación a la que llegamos, se le conoce como ecuación bicuadrada y se resuelve por cambio de variable. El cambio de variable que haremos es el de: \( b^2 = y \), y la anterior ecuación, resultará en: $$ y^2 - 3·y - 4 = 0 $$ La anterior ecuación, es una ecuación cuadrática y la resolveré por la fórmula de Bháskara. Al conjunto solución al que he llegado es: $$ S = \left\{ -1; 4 \right\} $$ Deberemos estudiar para cuál de estos casos se cumple la relación del cambio de variable que hemos aplicado. $$ b^2 = y ⇒ b^2 = -1 ⇒ b = ±i $$ Pero la parte imaginaria, por definición, debe ser un número real, por lo cual, debemos descartar este valor. $$ b^2 = y ⇒ b^2 = 4 ⇒ b = ±2 $$ Ahora debemos ver qué valores debe tener la parte real para coincidir con cada una de estas partes imaginarias. Esto lo haremos sustituyendo el valor hallado en la ecuación que creamos más conveniente. · Si \( b = +2 \): $$ 2·a·2 = 4 ⇒ a = 1 $$ · Si \( b = -2 \): $$ 2·a·(-2) = 4 ⇒ a = -1 $$ Con todo esto, hemos llegado a que los dos números complejos que son raíces cuadradas del número complejo dado, son: $$ z_{1} = 1 + 2·i $$ $$ z_{2} = -1 - 2·i $$ |
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