Universo Científico :: Problemas de programación lineal (II)

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Primer problema:

Hay que sacar los datos del problema, lo que a mí me gusta hacer es un cuadrito de doble entrada con los datos:

Voy a llamar:
$ x $: producto 1
$ y $: producto 2

Y la función objetivo la saco del problema:
$$ F(x,y) = 50·x + 80·y $$

Sacamos las restricciones del cuadro que puse más arriba, una de cada columna:
Columna A:
$$ x + y ≤ 400 $$
Columna B:
$$ 2·x + y ≤ 600 $$
Columna C:
$$ y ≤ 300 $$

Las graficamos:

Ahora vamos a localizar los vértices, el origen no me importa porque ya sé que va a dar 0.

$$ A (0,300) → F(0,300) = 24.000$$
$$ B (100,300) → F(100,300) = 29.000 $$
$$ C (200,200) → F(200,200) = 26.000 $$
$$ D (300,0) → F(300,0) = 15.000 $$

Como me pidieron maximizar, sé que es el B.

$$ \frac {29.000}{100} = $290 $$

Lo más conveniente es producir 100 del producto 1 y 300 del 2.

Segundo problema:

Este problema marea más que el otro, por lo que hay que abrir bien los ojos.

Hay dos funciones objetivo:
$$ F_{1} (x,y) = 5·x + 8·y $$
$$ F_{2} (x,y) = 13·x + 18·y $$

Siendo:
$ x $: las naranjas del tipo A.
$ y $: las naranjas del tipo B.

Ahora vamos a sacar las restricciones del problema:
$$ 5·x + 8·y ≤ 5.000 $$
$$ x + y ≤ 700 $$

Y lo vamos a graficar:

Vamos a identificar los vértices del polígono.

Calculamos con la segunda función objetivo:
$$ A(0,625) → F(0,625) = 11.250 $$
$$ B(200,500) → F(200,500) = 11.600 $$
$$ C(700,0) → F(700,0) = 9.100 $$

Como me piden maximización, la respuesta es el vértice B.

Cita

Respuesta:
Lo más conveniente es comprar 200 kg de las naranjas del tipo A, y 500 kg de las naranjas del tipo B.

Ahora me piden cuánto va a ser el beneficio, el beneficio es lo que gana la persona, descontando la inversión que hizo.

Calculamos el vértice B con la primer función objetivo:
$$ B(200,500) → F(200,500) = 5.000 $$

La diferencia de esto es: $ 6.600, lo cual es la respuesta, lo que ganará.

Tercer problema:

Cuadro de datos:

Variables:
$ x $: crudo ligero
$ y $: crudo pesado

Restricciones:
$$ 0,3·x + 0,3·y ≥ 900.000 $$
$$ 0,2·x + 0,4·y ≥ 800.000 $$
$$ 0,3·x + 0,2·y ≥ 500.000 $$

Graficamos:

Identificamos los vértices:

$$ A(0,3.000.000) → F(0,3.000.000) = 90 millones $$
$$ B(2.000.000,1.000.000) → F(2.000.000,1.000.000) = 100 millones $$

$$ C(4.000.000,0) → F(4.000.000,0) = 140 millones $$

Como me piden minimizar (menor costo), la respuesta es el vértice A.

Cita

Respuesta:
Debe comprar 3 millones de barriles de crudo pesado y ninguno del ligero. Obtiene de esa manera un costo mínimo de 90 millones de dólares.

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