16-01-2013, 5:19 PM
El principio de inducción completa es el último de los axiomas de Peano. Este principio es de suma importancia para demostrar fórmulas, generalizando gracias al álgebra.
Resulta más fácil de comprender si pensamos en dominós, si se tira el primero, caerá este y otro más, este último provocará que caiga su consecutivo y finalmente caerán todos.
Axioma:
Si un conjunto \( H \) de números naturales cumple que:
1. el número 0 pertenece al conjunto.
2. cada vez que un número natural \( n \) pertenece al conjunto \( H \), \( (n + 1) \) también pertenece a \( H \).
Entonces, dicho conjunto es igual a \( ℕ \).
$$ H ⊆ ℕ : \begin{Bmatrix}
0∈H \\
n∈H ⇒ (n+1)∈H
\end{Bmatrix} ⇒ H = ℕ $$
Principio de inducción completa:
El principio de inducción completa se basa en el último axioma de Peano, en vez de ser para un conjunto \( H \), es para una proposición \( p(x) \).
Pasos para demostrar por inducción completa:
1. Base inductiva: se prueba que la propiedad es válida para el natural \( n = 0 \).
2. Hipótesis inductiva: se plantea como verdadera la propiedad para un natural \( n = h \).
3. Tesis inductiva: se plantea como tesis, que la propiedad es válida para el siguiente natural, es decir para \( n = h + 1 \).
4. Demostración: en este paso se demuestra que la tesis es verdadera, mediante la aplicación de la hipótesis.
Resulta más fácil de comprender si pensamos en dominós, si se tira el primero, caerá este y otro más, este último provocará que caiga su consecutivo y finalmente caerán todos.
Axioma:
Si un conjunto \( H \) de números naturales cumple que:
1. el número 0 pertenece al conjunto.
2. cada vez que un número natural \( n \) pertenece al conjunto \( H \), \( (n + 1) \) también pertenece a \( H \).
Entonces, dicho conjunto es igual a \( ℕ \).
$$ H ⊆ ℕ : \begin{Bmatrix}
0∈H \\
n∈H ⇒ (n+1)∈H
\end{Bmatrix} ⇒ H = ℕ $$
Principio de inducción completa:
El principio de inducción completa se basa en el último axioma de Peano, en vez de ser para un conjunto \( H \), es para una proposición \( p(x) \).
Pasos para demostrar por inducción completa:
1. Base inductiva: se prueba que la propiedad es válida para el natural \( n = 0 \).
2. Hipótesis inductiva: se plantea como verdadera la propiedad para un natural \( n = h \).
3. Tesis inductiva: se plantea como tesis, que la propiedad es válida para el siguiente natural, es decir para \( n = h + 1 \).
4. Demostración: en este paso se demuestra que la tesis es verdadera, mediante la aplicación de la hipótesis.