Universo Científico :: Matrices

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Las matrices son de la forma:

$$ A = \begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{31}}\end{bmatrix} ∈ ℝ^{2×3} $$

Cálculo de determinante:

El determinante de una matriz se denota como: $ \det (A) $ ó $ |A| $, siendo $ A $ el nombre de la matriz.

· Matriz de 1×1 (o de primer orden):

Sea $ A $ una matriz de 1×1:
$$ A = \begin{bmatrix}{a_{11}}\end{bmatrix} $$

Su determinante será:
$$ \det (A) = {a_{11}} $$

· Matriz de 2×2 (o de segundo orden):

Sea $ B $ una matriz de 2×2:
$$ B = \begin{bmatrix}{b_{11}}&{b_{12}}\\{b_{21}}&{b_{22}}\end{bmatrix} $$

Su determinante será:
$$ \det (B) = b_{11}·b_{22} - b_{12}·b_{21} $$

· Matriz de 3×3 (o de tercer orden):

Sea $ C $ una matriz de 3×3:
$$ C = \begin{bmatrix}{c_{11}}&{c_{12}}&{c_{13}}\\{c_{21}}&{c_{22}}&{c_{23}}\\{c_{31}}&{c_{32}}&{c_{33}}\end{bmatrix} $$

Su determinante será:
$$ \det ( C ) = c_{11}·c_{22}·c_{33} + c_{12}·c_{23}·c_{31} + c_{13}·c_{21}·c_{32} - (c_{31}·c_{22}·c_{13} + c_{32}·c_{23}·c_{11} + c_{33}·c_{21}·c_{12}) $$

Sé que marean bastante todas esas cuentas, pero lo que hice fue plantear lo siguiente:

Lo anterior se conoce como regla de Sarrus.

· Matriz de cuarto orden en adelante:

Para hallar el determinante de matrices de cuarto orden (entiéndase 4×4) o superiores, es necesario utilizar el teorema de Laplace.

Operaciones con matrices:

· Adición:
$$ \begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}{b_{11}}&{b_{12}}\\{b_{21}}&{b_{22}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{(a_{11} + b_{11})}&{(a_{12} + b_{12})}\\{(a_{21} + b_{21})}&{(a_{22} + b_{22})}\end{bmatrix} $$

Ejemplo:
$$ \begin{bmatrix}{1}&{2}&{3}\\{6}&{11}&{5}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}{9}&{7}&{4}\\{10}&{2}&{21}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{10}&{9}&{7}\\{16}&{13}&{26}\end{bmatrix} $$

Propiedades:
· Asociatividad: $ (A+B)+C = A+(B+C) $
· Conmutatividad: $ A+B = B+A $
· Elemento neutro: $ A+0=A $
· Inverso aditivo: $A+(-A)=0 $

· Sustracción:

La sustracción es una generalización de la adición, aplicando el elemento opuesto (propiedad de la adición).
$$ \begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}{b_{11}}&{b_{12}}\\{b_{21}}&{b_{22}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{(a_{11} - b_{11})}&{(a_{12} - b_{12})}\\{(a_{21} - b_{21})}&{(a_{22} - b_{22})}\end{bmatrix} $$

Ejemplo:
$$ \begin{bmatrix}{1}&{2}&{3}\\{6}&{11}&{5}\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}{9}&{7}&{4}\\{10}&{2}&{21}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{-8}&{-5}&{-1}\\{-4}&{9}&{-16}\end{bmatrix} $$

La adición y sustracción de dos matrices no está definida si tienen diferentes dimensiones (distinta cantidad de filas y columnas).

· Producto por un escalar:
$$ \lambda · \begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{\lambda · a_{11}}&{\lambda · a_{12}}\\{\lambda · a_{21}}&{\lambda · a_{22}}\end{bmatrix} $$

Ejemplo:
$$ 3 · \begin{bmatrix}{2}&{7}\\{1}&{10}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{6}&{21}\\{3}&{30}\end{bmatrix} $$

Propiedades:
· Distributiva: $ (A+B)*c= A*c + B*c $
· Conmutativa: $ A*c=c*A $
· Elemento neutro: $ A*1=A$

· Producto de matrices:

La condición para que dos matrices se puedan multiplicar es que: el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Hago referencia a una matriz que está a la izquierda y otra que está a la derecha, por que el producto de matrices no es conmutativo.

Ejemplo:

· Cociente de matrices:
La división de matrices no está definida.

· Traspuesta de una matriz:
Las columnas pasan a ser filas.

La traspuesta de una matriz se denota como: $ A^{t} $.

Ejemplo:

$$ A = \begin{bmatrix}{3}&{5}&{6}\\{8}&{4}&{0}\end{bmatrix}, A^{t} = \begin{bmatrix}{3}&{8}\\{5}&{4}\\{6}&{0}\end{bmatrix} $$

Propiedades:
· La traspuesta de una matriz traspuesta da la matriz original:
$$ (A^{t})^{t} = A $$

· La traspuesta de la suma de dos matrices es igual a la traspuesta de cada uno de los sumandos:
$$ (A + B)^{t} = A^{t} + B^{t} $$

· La traspuesta del producto de un escalar por una matriz es igual a la traspuesta de la matriz por el escalar:
$$ (\alpha · A^{t}) = \alpha · A^{t} $$

· La traspuesta del producto de dos matrices es igual a la traspuesta de cada uno de los factores:
$$ (A · B)^t = A^t · B^t $$

Inversa de una matriz:

En aritmética, el inverso, por ejemplo, del número 2 es 0,5.

Inverso del número 2:
$$ 2^{-1} = \frac {1}{2} = 0,5 $$

Pero como vimos antes, las matrices no se pueden dividir, por lo que se denota a la inversa de una matriz como: $ A^{-1} $.

En aritmética, el inverso de un número, es otro número que multiplicado por el primero da la unidad, en español sería lo siguiente:

$$ 2 · \frac {1}{2} = 1 $$

Con las matrices se cumple una parte de esto, el resultado del producto de un número por su número da una constante, esta constate se conoce como matriz identidad.

Ejemplo:

Una matriz cualquiera:
$$ A = \begin{bmatrix}{2}&{-3}\\{1}&{3}\end{bmatrix} $$

La inversa de la anterior matriz:
$$ A^{-1} = \begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{- \frac {1}{9}}&{\frac {2}{9}}\end{bmatrix} $$

Su producto da la matriz identidad:

$$ \begin{bmatrix}{2}&{-3}\\{1}&{3}\end{bmatrix} · \begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{- \frac {1}{9}}&{\frac {2}{9}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix} $$

Notación de la inversa de una matriz:
Como vimos anteriormente, el inverso de un número $ a $ es $ \frac {1}{a} $, pero la matrices no se pueden dividir, por lo que no es correcto escribirlo en forma de fracción, la notación que se utiliza es: $ A^{-1} $.

Matriz identidad:
La matriz identidad es el neutro multiplicativo, esto significa que cualquier matriz multiplicada por la matriz identidad devuelve la matriz original.

La matriz identidad depende del orden, cada orden tiene su propia matriz identidad:

También se cumple que el producto de una matriz cualquiera por su inversa, da la matriz identidad:
$$ A · A^{-1} = I $$

Hay diversos métodos para calcular la inversa de una matriz, en serio, muchos.

Algunos de ellos son los siguientes:

Por medio de formulas:

· Para matrices de primer orden:
Para la matriz:
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} \end{bmatrix} $$
Su inversa es:
$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{11}} \end{bmatrix} $$

· Para matrices de segundo orden:
Para la matriz:
$$ B = \begin{bmatrix}{b_{11}}&{b_{12}}\\{b_{21}}&{b_{22}}\end{bmatrix} $$
Su inversa es:
$$ B^{-1} = \begin{bmatrix}\frac {{b_{22}}}{b_{11}·b_{22} - b_{12}·b_{21}}&\frac {{b_{12}}}{b_{11}·b_{22} - b_{12}·b_{21}}\\\frac {{b_{21}}}{b_{11}·b_{22} - b_{12}·b_{21}}&\frac {{b_{11}}}{b_{11}·b_{22} - b_{12}·b_{21}}\end{bmatrix} $$

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