Universo Científico :: Función cuadrática

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1) Dada la función \( f(x)= -x^2 + 2·x + 8 \)

a) Graficarla a partir de sus elementos.
b) Expresarla en forma canónica y factoreada.

2) Hallar la ecuación de la función que responde al siguiente grafico:

1. Hallamos las raíces de la función: igualándola a 0.

\( -x^2 + 2·x + 8 = 0 \)

El conjunto solución de dicha ecuación es:
\( S = \left\{ -2, 4\right\} \)

El término independiente (8) es la ordenada en el origen: intersección del gráfico con el eje vertical, mientras que las raíces son las intersecciones con el eje horizontal. Como es una función cuadrática su gráfico es una parábola, queda lo siguiente:

Como el coeficiente principal es negativo: tiene concavidad negativa.

b.

Forma factorizada:
\( - 1 · (x + 2)·(x - 4) \)

Forma canónica:
\( - 1 · (x - 1)^2 + 9 \)

2. El gráfico nos proporcionas sus raíces: \( S = \left\{ -1, 2\right\} \), y también su ordenada en el origen: -6.

Por el teorema del factor tenemos lo siguiente:
\(f(x) = a·(x + 1)·(x - 2) \)

Y como la ordenada en el origen es 0, tenemos que:
\(f(0) = a·(0 + 1)·(0 - 2) = -6 \)
\(a·(1)·(-2) = -6 \)
\( -2·a = -6 \)
\( a = \frac {-6}{-2} = 3 \)

Entonces nos queda que:
\(f(x) = 3·(x + 1)·(x - 2) \)

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